2025　信州大学　前期　理(数学科)学部MathJax

【１】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．線分$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$線分$\mathrm{OB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$線分$\mathrm{OC}$を$1:1$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．また三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，四面体$\mathrm{OABC}$の体積を$V$とする．

(1)　$3$点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$を含む平面と線分$\mathrm{OG}$との交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とおくとき，$\overrightarrow{p}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　四面体$\mathrm{ODEF}$の体積を$V$を用いて表せ．

(3)　四面体$\mathrm{GDEF}$の体積を$V$を用いて表せ．

【２】　関数

$f(t)=3\cdot 2^{t+2}$$+2\cdot 4^{t+1}-8^t$

の区間$0\leqq t\leqq 3$における最大値，最小値と，そのときの$t$の値をそれぞれ求めよ．

【３】　複素数$z_1\text{，}$$z_2\text{，}$$z_3$が

$\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=\left|z_3\right|=1\text{，}$$z_1+z_2+z_3=0$

を満たしているとする．このとき，${\displaystyle \frac{z_2}{z_1}}$のとりうる値をすべて求めよ．

【４】(1)　関数

$f(x)={\sin }^{3}x\cos x$

の区間$0\leqq x\leqq \pi$における最大値，最小値と，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　(1)で求めた，最大値を与える$x$の値を$a$とする．定積分

${\displaystyle {\int }_0^a}(3{\sin }^{8}x{\cos }^{4}x$$-{\sin }^{10}x{\cos }^{2}x)\mathit{dx}$

を求めよ．

【５】　$n$を自然数とする．各項が$1$から$n$までの整数のいずれかであり，項数が$10$である数列を考える．

(1)　$n=3$のとき，最大の項と最小の項の差が$1$である数列は何通りあるか．

(2)　$n\geqq 4$のとき，最大の項と最小の項の差が$n-1$である数列は何通りあるか．

(3)　(2)で求めた数列の個数を$A_n$とする．極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{A_n}{n^8}}$を求めよ．