2025　信州大学　前期　経法,農,工,繊維,医学部MathJax

【１】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を実数とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a\leqq b\text{，}$$p\leqq q$のとき，$ap+bq$$\geqq aq+bp$であることを示せ．

(2)　$a\leqq b\leqq c\text{，}$$p\leqq q\leqq r$のとき，$(a+b+c)(p+q+r)$$\leqq 3(ap+bq+cr)$であることを示せ．

【２】　$3$つのアルファベット$a\text{，}$$b\text{，}$$c$と，$4$つの数字$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$の$7$つを横一列に並べるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　アルファベットと数字を交互に並べるとき，その並べ方は何通りあるか．

(2)　$a$を$b\text{，}$$c$のいずれよりも右に，$1\text{，}$$3$をそれぞれ$2\text{，}$$4$のいずれよりも右に並べるとき，その並べ方は何通りあるか．

(3)　$1$を$a$よりも右に，$2$を$b$よりも右に，$3$を$c$よりも右に並べるとき，その並べ方は何通りあるか．

【３】　平面上に三角形$\mathrm{ABC}$と動点$\mathrm{P}$がある．ある定数$k$について，

${\mathrm{PA}}^2+2{\mathrm{PB}}^2+3{\mathrm{PC}}^2=k$

を満たすように点$\mathrm{P}$が動くとき，点$\mathrm{P}$は円を描く．この円の中心を$\mathrm{O}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(2)　三角形$\mathrm{OAB}\text{，}$$\mathrm{OBC}\text{，}$$\mathrm{OCA}$の面積をそれぞれ$S_1\text{，}$$S_2\text{，}$$S_3$とする．このとき，$S_1:S_2:S_3$を求めよ．

【４】　$a$は実数とする．関数$f(x)$を

$f(x)=x^3$$-3(a+2)x^2$$+24ax$$-2a^2$$-41a+28$

と定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(2)\geqq 0$となるとき，$a$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$x\geqq 2$となるすべての$x$に対して$f(x)\geqq 0$が成り立つとき，$a$のとり得る値の範囲を求めよ．

【５】　数列$\{a_n\}$は初項$a$が$0$でない等差数列であり，また，$a_1\text{，}$${\displaystyle \frac{a_2}{3}}\text{，}$${\displaystyle \frac{a_3}{5}}$は公比が$1$でない等比数列であるとする．このとき，$\{a_n\}$の一般項を$a$および$n$を用いて表せ．

【６】　$0\leqq x\leqq 2\pi$において，$2$曲線$y=|\sin x|\text{，}$$y=-\cos 2x$によって囲まれた図形の面積を求めよ．また，この図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を求めよ．

【７】　実数全体を定義域にもつ$t$の関数$p$は微分可能で，すべての$t$に対し${\displaystyle \frac{\mathit{dp}}{\mathit{dt}}}>0$を満たすとする．また，$p$の値域は実数全体であるとする．座標平面上において，曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}$上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標は$(p,{\displaystyle \frac{e^p+e^{-p}}{2}})$であり，点$\mathrm{P}$の速度$\overrightarrow{u}$はすべての$t$に対し$\left|\overrightarrow{u}\right|=2$を満たすとする．座標平面上を運動する点$\mathrm{Q}$は，時刻$t$において，曲線$C$の点$\mathrm{P}$における法線の$y>{\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}$を満たす部分にあり，$\mathrm{PQ}=1$であるとする．$t$が実数全体を動くとき，以下の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　点$\mathrm{Q}$の座標を$p$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{Q}$の速度を$\overrightarrow{v}$とするとき，$\left|\overrightarrow{v}\right|$のとり得る値の範囲を求めよ．