2025　信州大学　前期　教育学部MathJax

【１】　次のように定められた数列$\{a_n\}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$について，次の問いに答えなさい．

$a_1=1\text{，}$$a_2={\displaystyle \frac{1}{1+2}}\text{，}$$a_3={\displaystyle \frac{1}{1+2+3}}\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n={\displaystyle \frac{1}{1+2+3+\cdots +n}}\text{，}\cdots$

(1)　$a_{59}$の値を求めなさい．

(2)　$a_1$から$a_{59}$までの和を求めなさい．

【２】　四面体$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{▵BCD}$の重心を$\mathrm{G}$とする．

(1)　線分$\mathrm{AG}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{I}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表しなさい．

(2)　四面体$\mathrm{ABCD}$が正四面体であるとき，

$\mathrm{AI}=\mathrm{BI}=\mathrm{CI}=\mathrm{DI}$

であることをベクトルを用いて示しなさい．

【３】　$x\text{，}$$a\text{，}$$b$を正の実数とする．

(1)　$x>1$のとき，不等式

${\displaystyle \frac{1}{4x}>{\displaystyle \frac{1}{{(1+x)}^2}}}$

が成り立つことを示しなさい．

(2)　${\displaystyle \frac{b}{a}}>1$のとき，不等式

${\displaystyle \frac{a+b}{2}}>{\displaystyle \frac{b-a}{\log b-\log a}}$

が成り立つことを示しなさい．

【４】　$a$を実数とする．すべての実数$x$で定義された関数$f(x)$は$x=a$で微分可能であり，その微分係数$f^{\prime }(a)$を$\alpha$とする．このとき，次の極限値を$\alpha$を用いて表しなさい．

(1)　$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(a+7h)-f(a)}{h}}$

(2)　$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(a+2h)-f(a-h)}{h}}$