2025　山梨大学　前期MathJax

【１】(1)　$x>0$のとき，$f(x)=x^2+px+q$の値がつねに正になるような定数$p\text{，}$$q$の組$(p,q)$を座標とする点全体の集合を$pq$平面上に図示せよ．

【１】(2)　$a>0$とする．$2$次方程式$x^2-(2a-1)x$$+2-a=0$が異なる$2$つの実数解をもつとき，その実数解を$\tan A\text{，}$$\tan B$とする．このとき$\tan (A+B)$がとりうる値の範囲を求めよ．

【１】(3)　次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_1^e}{\displaystyle \frac{{(\log x)}^2}{x^2}}\mathit{dx}$

【２】　$\mathrm{\angle AOB}=60\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{OA}>\mathrm{OB}$である$\mathrm{▵OAB}$について，辺$\mathrm{OA}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$4:1$に内分する点$\mathrm{D}$とする．また，$0<u<1$である実数$u$に対し，辺$\mathrm{AB}$を$u:(1-u)$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，辺$\mathrm{OA}$と直線$\mathrm{CP}$は垂直であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\left|\overrightarrow{b}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|}}$を$u$の式で表せ．

(2)　点$\mathrm{D}$が$\mathrm{▵OCP}$の外接円上の点であるとき，$u$の値を求め，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

【３】　$a\text{，}$$b$を正の実数とし，$xy$平面上の曲線$y=-a{x}^2+b$を$C_1\text{，}$曲線$y=-2\log x$を$C_2$とする．曲線$C_1\text{，}$$C_2$は共有点$\mathrm{P}$をもち，点$\mathrm{P}$において共通の接線をもつとする．次の問いに答えよ．

(1)　$b$を$a$の式で表せ．また，$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　曲線$C_1$と$x$軸で囲まれた部分を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$a$の式で表せ．

(3)　(2)の体積を$V(a)$としたとき，$V(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

【４】　$f(x)=e^{-x}\sin x$とし，$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対し，$I_n={\displaystyle {\int }_{(n-1)\pi }^{n\pi }}f(x)\mathit{dx}$と定める．次の問いに答えよ．

(1)　$g(x)=e^{-x}\cos x$とするとき，$f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$I_1$の値を求めよ．

(3)　数列$\{I_n\}$が等比数列となることを示し，その公比を求めよ．

(4)　無限等比級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{I}_n$の収束，発散を調べ，収束するときはその和を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．答えだけでなく，どのように考えたのか，途中の計算および説明も書け．

(1)　$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=4\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}$が鋭角である$\mathrm{▵ABC}$の外接円に点$\mathrm{A}$で接する直線を$l$とする．点$\mathrm{C}$から$l$に下ろした垂線と$l$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{\angle CAH}=60\mathrm{°}$であるとき，$\mathrm{▵CAH}$の面積を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．答えだけでなく，どのように考えたのか，途中の計算および説明も書け．

(2)　大中小$3$個のさいころを同時に投げて，出た目をそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とするとき，$\sin {\displaystyle \frac{\pi a}{6}}+\sin {\displaystyle \frac{\pi b}{6}}$$+\sin {\displaystyle \frac{\pi c}{6}}>{\displaystyle \frac{1}{2}}$となる確率を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．答えだけでなく，どのように考えたのか，途中の計算および説明も書け．

(3)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d\text{，}$$e$に対する$2$つの変量$x\text{，}$$y$のデータが右の表で与えられるとき，$x$と$y$の相関係数$r$を求めよ．

【２】　関数$f(x)\text{，}$$g(x)$および定数$a$は等式

${\displaystyle {\int }_1^x}f(t)\mathit{dt}=x^2-ax+1\text{，}$$g(x)=x^3+{\displaystyle {\int }_0^a}{x}^2\{|f(t)|+{\displaystyle \frac{5}{4}}g(t)\}\mathit{dt}$

をみたす．次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$と定数$a$の値を求めよ．

(2)　関数$g(x)$を求めよ．

(3)　$x$についての方程式$g(x)=b$が異なる$3$個の実数解をもつように，定数$b$の値の範囲を定めよ．