2025　福井大学　後期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　定積分$I={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^2\sqrt{1-x^2}\mathit{dx}$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　実数$x$に関する不等式$|x^2-2x|\leqq 2x-2$を解け．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　複素数$z$の値が$z={\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}i}{2}}$であるとき$z^{17}=p+qi$を満たす実数$p\text{，}$$q$を求めよ．

【２】　いずれの内角も$\pi$より小さい四角形$\mathrm{OABC}$を考える．ただし，$\mathrm{OC}=1\text{，}$$\mathrm{▵ABC}$は正三角形とする．$\mathrm{OA}=a$$\text{（}a>0\text{），}$$\mathrm{\angle AOC}=\theta$$\text{（}0<\theta <\pi \text{），}$座標平面上で点$\mathrm{O}$を原点，点$\mathrm{A}$を$(a,0)$にとり，点$\mathrm{C}$の$y$座標は正とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$の面積$S$を$a\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(2)　$\theta ={\displaystyle \frac{5}{6}}\pi$のとき，点$\mathrm{B}$の座標$(b_1,b_2)$を$a$を用いて表せ．

【３】　関数$f(x)$が与えられたとき，関数$g(x)$を

$g(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2{\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\mathit{dt}$$-x{\displaystyle {\int }_0^x}tf(t)\mathit{dt}$$+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_0^x}{t}^{2}f(t)\mathit{dt}$

で定義する．ただし，関数$f(x)$はすべての実数で定義され何回でも微分可能とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　第$1$次導関数$g^{(1)}(x)\text{，}$第$2$次導関数$g^{(2)}(x)\text{，}$第$3$次導関数$g^{(3)}(x)$を求めよ．

(2)　$g^{(1)}(0)$を求めよ．

(3)　第$4$次導関数$g^{(4)}(x)$が$g^{(4)}(x)=24$であり，また$g(1)=0$とする．このとき，$g(x)\text{，}$$f(x)$を求めよ．

(4)　(3)で求めた関数$g(x)$について，曲線$y=g(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【４】　文字$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{U}\text{，}$$\mathrm{K}\text{，}$$\mathrm{U}\text{，}$$\mathrm{I}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{I}$がそれぞれ$1$文字ずつ書かれた$8$枚のカードがある．文字$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{K}\text{，}$$\mathrm{D}$を子音，文字$\mathrm{U}\text{，}$$\mathrm{I}\text{，}$$\mathrm{A}$を母音と呼ぶ．これら$8$枚のカードを左から右へ横$1$列に無作為に並べるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　文字の並び方が$\mathrm{FUKUIDAI}$になる確率$P_1$を求めよ．

(2)　$\mathrm{U}$が隣同士にならない確率$P_2$を求めよ．

(3)　同じ文字が隣同士にならない確率$P_3$を求めよ．

(4)子音の右隣が必ず母音であるような文字の並び方を「単語」と呼ぶことにする．文字の並び方が単語になる確率$P_4$を求めよ．