2025　福井大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$は条件$a_1=3\text{，}$$a_{n+1}=5a_n+8$によって定められる．また数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$は，$S_n=2b_n+2n-8$を満たしている．以下の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　すべての自然数$n$について，$a_n+b_n$は$3$の倍数であることを示せ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{5}\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{5}\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=2\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=3\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=2\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=4$であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．また，$\mathrm{\angle BAC}$の大きさを求めよ．

(2)　点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線を$\mathrm{OH}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

【３】　関数$f(x)$と$g(x)$を$f(x)=e^x+e^{-x}\text{，}$$g(x)={\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}}$により定める．以下の問いに答えよ．

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\log 2}}g(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　$g^{\prime }(x)=1-{\{g(x)\}}^2$が成り立つことを示せ．

(3)　自然数$n$について，$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\log 2}}{\{g(x)\}}^n\mathit{dx}$とする．$I_{n+2}$を$n$と$I_n$を用いて表せ．また，$I_3$の値を求めよ．

【４】　大中小の$3$個のさいころを投げ，大のさいころの出た目を$a\text{，}$中のさいころの出た目を$b\text{，}$小のさいころの出た目を$c$とする．$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を用いて，$3$次関数

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}a{x}^3-b{x}^2+3cx$

を定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(2)=0$となるときの$c$の値を求めよ．また，$f^{\prime }(2)=0$となる確率を求めよ．

(2)　$f^{\prime }(3)=0$となる確率を求めよ．

(3)　$f^{\prime }(3)=0$であったとき，$f(x)$が$x=3$で極値をとる条件付き確率を求めよ．

【１】　複素数平面上で，$\left|\alpha \right|=|\alpha -2|\text{，}$${\alpha }^2+{\beta }^2-2\alpha -2\beta +2=0$を満たす$2$つの複素数$\alpha \text{，}$$\beta$に対して，$z=\alpha \beta$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\alpha$の実部を求めよ．

(2)　$\alpha \text{，}$$\beta$が与えられた条件を満たしながら動くとき，点$z$が描く図形を図示せよ．

(3)　$\alpha \text{，}$$\beta$は，さらに$x$の$3$次方程式$8x^3+k{x}^2$$+18x$$-5=0$の解であり，$\arg {\displaystyle \frac{\beta -1}{\alpha -1}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．$k$の値と$\alpha \text{，}$$\beta$を求めよ．

【２】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}$に対して，$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\log 2}}{\{f(x)\}}^n\mathit{dx}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{）}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)=1-{\{f(x)\}}^2$が成り立つことを示せ．

(2)　$I_2$を求めよ．

(3)　$I_{n+2}$を$n$と$I_n$を用いて表せ．さらに$I_4$を求めよ．

【３】　座標空間に直円柱がある．一方の底面は$xy$平面にあり，原点を中心とする半径$\sqrt{2}$の円である．他方の底面は平面$z=4$にある．$xy$平面上の直線$x+y=0$を含み，点$(1,1,4)$を通る平面$\alpha$で，直円柱を$2$つの立体に分けるとき，小さい方の立体を$A$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$A$の体積を求めよ．

(2)　$\alpha$による切り口の面積を求めよ．

(3)　$A$の表面積を求めよ．

【４】　大中小の$3$個のさいころを投げ，大のさいころの出た目を$a\text{，}$中のさいころの出た目を$b\text{，}$小のさいころの出た目を$c$とする．$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を用いて，$3$次関数

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}a{x}^3-b{x}^2+3cx$

を定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(2)=0$となる確率を求めよ．

(2)　$f(x)$が$x=3$で極値となる確率を求めよ．

(3)　$f(x)$が極値をとる関数であったとき，$x=3$で極値をとる条件付き確率を求めよ．

【５】　同じ大きさの玉が多数個入った袋がある．袋の中に入っている玉の数は$60\mathrm{\%}$が赤玉で，残りはすべて白玉である．この袋から玉を$1$個取り出してもとに戻すことを$n$回続けて行うとき，以下の問いに答えよ．なお，(2)，(3)については正規分布表を利用せよ．

(1)　取り出された赤玉$1$個について賞金$100$円を受け取るゲームを行う．$n=3$でありこのゲームの参加料が$200$円であるとき，ゲームに参加することは得であるといえるか．期待値を用いて答えよ．

(2)　$n=600$とし，赤玉の出る回数を$X$とする．$X$が$339$以下の値をとる確率を求めよ．ただし，結果は小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位までの数値で表せ．

(3)　袋の中に入っている赤玉の割合が$60\mathrm{\%}$であるかどうかを調べるために，この袋から玉を$1$個取り出してもとに戻すことを$1350$回続けて行ったところ，赤玉が$844$回出た．この袋の中に入っている赤玉の割合は$60\mathrm{\%}$ではないと判断してよいか．有意水準$5\mathrm{\%}$で検定せよ．

【１】　白玉$1$個，赤玉$4$個が入っている袋がある．この袋から玉を$2$個取り出し，取り出された赤玉$1$個について賞金$100$円を受け取るゲームがある．このゲームの玉の取り出し方は，$2$枚の硬貨を投げた結果によって以下のように定める．

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　受け取る賞金が$0$円である確率を求めよ．

(2)　受け取る賞金が$200$円であったとき，$2$枚の硬貨を投げた結果が$\text{「}2$枚とも表」であった確率を求めよ．

(3)　このゲームの参加料が$150$円であるとき，このゲームに参加することは得であるといえるか．期待値を用いて答えよ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{OB}$はいずれも辺$\mathrm{OA}$に直交し，$\mathrm{OA}=1\text{，}$$\mathrm{AC}=\mathrm{OB}=2$で$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角は$60\mathrm{°}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$と表すとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ．

(2)　$\mathrm{O}$から$\mathrm{▵ABC}$を含む平面に下ろした垂線を$\mathrm{OH}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$で表せ．

(3)　$\mathrm{▵ABC}$の面積$S$と四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．

【４】　関数$y=f(x)$が任意の実数$x$に対して次の等式を満たすとき，以下の問いに答えよ．ただし，$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$は連続関数とする．

$f(x)=\sin x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_0^x}{f}^{\prime }(t)\sin t\mathit{dt}$

(1)　与えられた等式の両辺を微分して，$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$を求めよ．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}f(x)\cos x\mathit{dx}$の値を求めよ．

【５】　$3$次関数$f(x)=x^3+3p{x}^2+3qx+r$が，$x=\alpha$で極大値，$x=\beta$で極小値をとるとき，以下の問いに答えよ．ただし，$p\text{，}$$q\text{，}$$r$は定数とする．

(1)　$\alpha +\beta \text{，}$$\alpha \beta$をそれぞれ，$p\text{，}$$q$で表せ．

(2)　$f(\alpha )+f(\beta )$を$p\text{，}$$q\text{，}$$r$で表せ．

(3)　$\mathrm{A}(\alpha ,f(\alpha ))\text{，}$$\mathrm{B}(\beta ,f(\beta ))$とするとき，線分$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{M}$が曲線$C\text{：}y=f(x)$上にあることを証明せよ．