2025　金沢大学　前期　理系MathJax

【１】　実数$m>1$について，座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}(m,0)\text{，}$$\mathrm{C}(m^2,0)$をとる．点$\mathrm{P}(x,y)$は$\mathrm{AP}:\mathrm{CP}=1:m$を満たしながら動くとする．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡を求めよ．

(2)　次の等式を証明せよ．

$\overrightarrow{\mathrm{PB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}=m(m+1)(m-x)$

(3)　$y\ne 0$とする．点$\mathrm{P}(x,y)$に対して$\mathrm{\angle APB}=\mathrm{\angle BPC}$が成り立つことを示せ．

【２】　実数$a>0$に対し，座標平面上の点$\mathrm{P}(a,0)$をとる．曲線

$y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^{\frac{3}{2}}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$

を$C$とする．点$\mathrm{Q}$が曲線$C$上を動くとき，${\mathrm{PQ}}^2$の最小値を与える点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$F(a)$とし，${\mathrm{PQ}}^2$の最小値を$G(a)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$F(a)$を求めよ．

(2)　$\underset{a\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{F(a)-a}{a^2}}$を求めよ．

(3)　$\underset{a\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{G(a)}{a^3}}$を求めよ．

【３】　座標平面上の$0\leqq x\leqq 2\log 2$の範囲において，曲線$y=e^x$と曲線$y=2-e^{2x}\text{，}$直線$x=2\log 2$で囲まれた図形を$D$とする．図形$D$を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

【４】　次の式によって与えられる数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}\text{，}$$\{x_n\}$がある．

$a_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}k\text{，}$$b_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^2\text{，}$$x_n={\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k{a}_k}$

次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{b_n}{a_n}}$が整数となる$n$をすべて求めよ．

(2)　$x_n={\displaystyle \frac{1}{2}}(a_n^2+b_n)$を示せ．

(3)　${\displaystyle \frac{x_n}{a_n}}$が整数となる$n$をすべて求めよ．