2025　金沢大学　前期　文系MathJax

【１】　$\mathrm{AB}=6\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{6}\text{，}$$\mathrm{CA}=3\sqrt{2}$である$\mathrm{▵ABC}$において，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

(2)　$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$の値を求めよ．

(3)　点$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{BC}$と直交する直線を$m\text{，}$点$\mathrm{B}$を通り直線$\mathrm{AC}$と直交する直線を$n$とする．$m$と$n$の交点を$\mathrm{P}$としたとき，$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

【２】　$3$個のさいころを同時に投げ，それらの出た目の積を$X$とし，$X$を素因数分解したときの$3$の指数を$Y$とする．ただし，$X$が$3$で割り切れない場合は$Y=0$とする．たとえば，$X=45=3^2\cdot 5$のときは$Y=2$であり，$X=50=2\cdot 5^2$のときは$Y=0$である．次の問いに答えよ．

(1)　$X=216$となる確率を求めよ．

(2)　$X=36$となる確率を求めよ．

(3)　$Y\geqq 1$となる確率を求めよ．

(4)　$Y$の期待値を求めよ．

【３】　高さ$h$の四角柱から高さ$h$の円柱をくり抜いた立体図形$G$を考える．ただし，四角柱の底面は$1$辺の長さが$3r$の正方形で，円柱の底面はその正方形の内部に含まれる半径$r$の円とする．このとき，$G$の表面積$S$と体積$V$はくり抜く円柱の位置によらない．次の問いに答えよ．

(1)　表面積$S$を，$r$と$h$を用いて表せ．

(2)　体積$V$を，$r$と$S$を用いて表せ．

(3)　$S=6$とする．$r$が変化するとき，体積$V$の最大値とそのときの$r$の値を求めよ．