2025　富山大学　後期MathJax

【１】　$x$の整式で表される$2$つの関数$f(x)$と$g(x)$は次の$3$つの条件(a)，(b)，(c)を満たすとする．

(a)　${\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}\{f(x)+g(x)\}=3$

(b)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\{f(x)\}}^2+{\{g(x)\}}^2-5x^2}{2x}}=0$

(c)　$f(0)=1\text{，}$$g(0)=-2$

次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)+g(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)g(x)$を求めよ．

(3)　$f(x)$と$g(x)$を求めよ．

(4)　次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{f(x)}{{\{f(x)\}}^2+{\{g(x)\}}^2}}\mathit{dx}$

【２】　正の整数$n$に対して，$I_n={\displaystyle {\int }_1^e}{(\log x)}^n\mathit{dx}$とおく．

(1)　$I_{n+1}$を$n$と$I_n$を用いて表せ．

(2)　すべての正の整数$n$について，$I_n$が次の形で表されることを数学的帰納法を用いて示せ．

$I_n={(-1)}^{n+1}n!+a_{n}e$（ただし，$a_n$は整数）

(3)　(2)で定まる数列$\{a_n\}$に対して，数列$\{b_n\}$を

$b_n={\displaystyle \frac{a_{n+1}}{(n+1)!}}+{\displaystyle \frac{a_n}{n!}}$

で定める．すべての正の整数$n$について，不等式${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{b}_k<1$が成り立つことを示せ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{P}$の座標をそれぞれ$\mathrm{A}(1,5,0)\text{，}$$\mathrm{B}(4,2,\sqrt{6})\text{，}$$\mathrm{P}(r,r,0)$とする．ただし，$r$は実数とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$のなす角が最大となるような点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　(1)で求めた点$\mathrm{P}$に対し，点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OA}}$かつ$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$となるような平面$\mathrm{OAB}$上の点とする．実数$s\text{，}$$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すとき，$s$と$t$の値を求めよ．

(3)　(1)，(2)で定まる$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$に対して，四面体$\mathrm{PQAB}$の体積を求めよ．