2025　富山大学　前期MathJax

【１】　多項式$P(x)=(x^6-3x^4+3x^2-1)x^3(x^2+1)(x^2+2)(x^2+3)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　多項式$P(x)$が$2$次式$x^2-1$で割り切れることを示せ．

(2)　$6480$を素因数分解せよ．

(3)　$n$が$2$以上の整数のとき$P(n)$は$6480$の倍数であることを示せ．

【２】　$n$を自然数とし，$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}}{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{{\cos }^{n}x}}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$I_1\text{，}$$I_2$を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$のとき，$I_{n+1}$を$I_{n-1}$を用いて表せ．

(3)　$I_3\text{，}$$I_4$を求めよ．

(4)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}}}{x}^2\sqrt{1+4x^2}\mathit{dx}$を求めよ．

【３】　$\mathrm{▵ABC}$において$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=1$とし，点$\mathrm{H}$を$\mathrm{▵ABC}$の垂心とする．$\theta =\mathrm{\angle BAC}$とし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$であると仮定する．$T(\theta )$を$\mathrm{▵BHC}$の面積，$S(\theta )$を$\mathrm{▵AHC}$の面積とする．次の問いに答えよ．

(1)　$T(\theta )$を$\theta$の式で表せ．

(2)　${S(\theta )}^2$の最大値を求めよ．ただし，最大値を与える$\theta$の値は求めなくてよい．

(3)　$\theta$が不等式$S(\theta )\geqq {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{12}}$を満たすように変化するとき，$\cos \theta$の値の範囲を求めよ．

【１】　関数$f(x)=x(x+1)\sqrt{1-x^2}$$\text{（}-1\leqq x\leqq 1\text{）}$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$0<a<1$とする．曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}(a,f(a))$における接線$l$が点$\mathrm{B}(-1,0)$を通るとき，$l$の方程式を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と(1)の直線$l$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　袋に全部で$10$個の玉が入っている．袋から玉を$1$個取り出し，その玉の色に応じて得点を得るゲームがある．$1$回ゲームをするごとに，取り出した玉は袋に戻し，よくかき混ぜることにする．玉の色と個数，および得点は右上の表の通りである．

　次の問いに答えよ．

(1)　$1$回ゲームをして，赤玉または青玉を取り出す確率を求めよ．

(2)　$5$回ゲームをして，白玉を少なくとも$1$回取り出す確率を求めよ．

(3)　$5$回ゲームをして，合計得点が$1000$点より大きい確率を求めよ．

【１】　$\mathrm{▵ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$6:1$に外分する点を$\mathrm{F}\text{，}$線分$\mathrm{EF}$と線分$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{G}\text{，}$線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{EF}$の交点を$\mathrm{H}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AG}}}$の値を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{\mathrm{EG}}{\mathrm{GF}}}$の値を求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{\mathrm{FH}}{\mathrm{EH}}}$の値を求めよ．

(4)　四角形$\mathrm{EBDG}$が円に内接して，$\mathrm{AG}:\mathrm{FH}=4:3$であると仮定する．このとき，$\mathrm{▵ABC}$は正三角形であることを証明せよ．

(5)　$\mathrm{▵ABC}$の面積を$S_1$とし，$\mathrm{▵CFH}$の面積を$S_2$とする．(4)の仮定のもとで${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$の値を求めよ．

【２】　$\alpha \text{，}$$\beta$を異なる正の数とし，等比数列$\{a_n\}$および等差数列$\{b_n\}$は，

$a_1=b_1=\alpha \text{，}$$a_2=b_2=\beta$

を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)　不等式$a_3>b_3$を証明せよ．

(2)　$n$が$3$以上のとき，$(a_{n+1}-b_{n+1})-(a_n-b_n)$を$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$n$を用いて表せ．

(3)　$n$が$3$以上のとき，不等式$a_n>b_n$を証明せよ．

【３】　関数$f(\theta )=2{\sin }^2\theta$$-3\cos \theta$$+\sqrt{2(1+\cos \theta )}+1$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$x=|\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}|$とおくとき，$f(\theta )$を$x$の式で表せ．

(2)　$0\leqq \theta <2\pi$における$f(\theta )$の最大値，最小値，およびそれらを与える$\theta$の値を求めよ．