2025　長岡技術科学大学　前期MathJax

【１】　$t$を正の実数とする．曲線$y=e^{-x}$上の点$\mathrm{P}(t,e^{-t})$における接線を$l$とし，$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}\text{，}$$l$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とする．また，$\mathrm{O}$は原点を表すものとする．次の問いに答えなさい．

(1)　$l$の方程式を，$t$を用いて表しなさい．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の座標を，それぞれ$t$を用いて表しなさい．

(3)　$\mathrm{▵OAB}$の面積が最大となるときの$t$の値，およびそのときの$\mathrm{▵OAB}$の面積を求めなさい．

【２】　$n$を自然数とする．${2025}^n$を$7$で割ったときの余りを$a_n$とする．次の問いに答えなさい．ただし，「自然数$x\text{，}$$y$を自然数$m$で割ったときの余りをそれぞれ$r_1\text{，}$$r_2$とすると，$xy$を$m$で割ったときの余りが$r_1{r}_2$を$m$で割ったときの余りに等しい」ことを用いても良い．

(1)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3$をそれぞれ求めなさい．

(2)　$a_{2025}$を求めなさい．

(3)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{2025}}{a}_n$を求めなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }\log (x+2)\mathit{dx}$を求めなさい．

(2)　前問(1)を用いて，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}\log ({\displaystyle \frac{k}{n}}+2)$を求めなさい．

(3)　前問(2)を用いて，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left({\displaystyle \frac{(3n)!}{n^n(2n)!}}\right)}^{\frac{1}{n}}$を求めなさい．

【４】　$t$を$0$でない実数とする．放物線$y=x^2$上の点$\mathrm{P}(t,t^2)$における法線に関して，点$\mathrm{A}(t,t^2+1)$と対称な点を$\mathrm{B}$とする．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{PA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}$とし，$\mathrm{P}$におけるこの放物線の接線の方向ベクトルで，$x$成分が$1$であるものを$\overrightarrow{p}$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{p}$を，$t$を用いて表しなさい．

(2)　$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$が$\overrightarrow{p}$と平行であることから，$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{p}$となる実数$k\ne 0$が存在する．${\left|\overrightarrow{b}\right|}^2={\left|\overrightarrow{a}\right|}^2$であることを利用して，$k=-{\displaystyle \frac{2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{p}}{{\left|\overrightarrow{p}\right|}^2}}$を示しなさい．

(3)　$\overrightarrow{b}$を，$t$を用いて表しなさい．

(4)　$t$によらず直線$\mathrm{PB}$上に点$\mathrm{F}(0,{\displaystyle \frac{1}{4}})$があることを示しなさい．