2025　新潟大学　推薦理学部数学プログラムMathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$\tan \alpha =2\text{，}$$\tan \beta =3\text{，}$$\tan \gamma =4$のとき，$\tan (\alpha +\beta +\gamma )$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　不等式$|x-2|+|x-5|\leqq 5$を解け．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$5$個の数字$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$を重複なく使ってできる$5$桁の整数を小さい方から順に並べるとき，$60$番目の数を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　関数$f(x)=\left|x\right|\sqrt{x+2}$の極値を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．また，$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とし，$\mathrm{OE}$の延長と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$m\text{，}$$n$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$m\text{，}$$n$を用いて表せ．

(3)　三角形$\mathrm{OAB}$の面積が三角形$\mathrm{OCE}$の面積の$12$倍であるとき，$m$と$n$の比$m:n$を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を$a_1=1\text{，}$$4n{a}_{n+1}=(n+1)a_n$で定める．次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{b_n\}$を$b_n={\displaystyle \frac{a_n}{n}}$で定めたとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　すべての自然数$n$に対して，不等式$4^n\geqq 2n^2+n$を証明せよ．

(4)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【４】　$a\geqq 0$とする．関数$f(x)=ax$と$g(x)=|x(x-2)|$について，次の問いに答えよ．

(1)　直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の共有点をすべて求めよ．

(2)　直線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(3)　(2)で求めた面積が最小となるときの$a$の値を求めよ．