2025　新潟大学　前期MathJax

【１】　座標平面上の原点を$\mathrm{O}$とし，$1$点$\mathrm{A}(a,-1)$をとる．ただし，$a>0$とする．また，放物線$y=x^2$上に点$\mathrm{B}$をとる．ただし，$\mathrm{B}$は原点以外の点とする．次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直になるときの点$\mathrm{B}$の座標を$a$を用いて表せ．また，そのときの三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S$を$a$を用いて表せ．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$が最大になるときの点$\mathrm{B}$の座標を$a$を用いて表せ．また，そのときの三角形$\mathrm{OAB}$の面積$T$を$a$を用いて表せ．

(3)　$S$と$T$は，(1)と(2)で求めたものとする．$S=3T$となるときの点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

【２】　実数$t$に対して

$F(t)={\displaystyle {\int }_0^t}{e}^{-2x}{\sin }^{2}x\mathit{dx}$

とおく．ただし，$e$は自然対数の底である．次の問いに答えよ．

(1)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲において，関数$y=e^{-2x}{\sin }^{2}x$の極値を求めよ．

(2)　実数$t$に対して，

$I(t)={\displaystyle {\int }_0^t}{e}^{-2x}\cos 2x\mathit{dx}\text{，}$$J(t)={\displaystyle {\int }_0^t}{e}^{-2x}\sin 2x\mathit{dx}$

とおく．このとき，次の$3$つの等式(a)，(b)，(c)が成り立つことを示せ．

(a)　$F(t)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-2t}{\sin }^{2}t+{\displaystyle \frac{1}{2}}J(t)$

(b)　$I(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-2t}\cos 2t-J(t)$

(c)　$J(t)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-2t}\sin 2t+I(t)$

(3)　極限値$\underset{t\to \infty }{\lim }F(t)$を求めよ．

【３】　$2$次方程式$x^2-x-1=0$の解$\alpha ={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\text{，}$$\beta ={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}$に対して，数列$\{a_n\}$を$a_n={\alpha }^{n-1}+{\beta }^{n-1}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$により定める．次の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4\text{，}$$a_5$を求めよ．

(2)　自然数$n$に対して，${\alpha }^{n+1}-{\alpha }^n={\alpha }^{n-1}\text{，}$${\beta }^{n+1}-{\beta }^n={\beta }^{n-1}$が成り立つことを示せ．

(3)　数列$\{a_n\}$の階差数列を$\{b_n\}$とする．すなわち，

$b_n=a_{n+1}-a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

である．$b_1$を求めよ．また，$n\geqq 2$に対して，$b_n=a_{n-1}$が成り立つことを示せ．

(4)　自然数$n$に対して，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k=a_{n+2}-1$が成り立つことを示せ．

(5)　自然数$n$に対して，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a_k}^2=a_n{a}_{n+1}+2$が成り立つことを示せ．

【４】　$2$つの関数$f(x)={\log }_{2}x\text{，}$$g(x)=|x^2-2x-3|-|x^2-x|$について，それらの合成関数$h(x)=(g\circ f)(x)=g(f(x))$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{16}}\leqq x\leqq 4$のとき，$f(x)$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{16}}\leqq x\leqq 4$のとき，$h(x)$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　関数$y=h(x)$$({\displaystyle \frac{1}{16}}\leqq x\leqq 4)$のグラフと直線$y=1$の共有点の個数を求めよ．また，共有点の$x$座標をすべて求めよ．

(4)　$a$は定数とする．関数$y=h(x)$$({\displaystyle \frac{1}{16}}\leqq x\leqq 4)$のグラフと直線$y=a$が共有点をもつとき，その共有点の個数を$a$の値によって場合分けして求めよ．

【５】　次の条件(☆)を満たす複素数$z$を考える．ただし，$i$は虚数単位とする．

(☆)　$i{z}^2$は実数であって，$0\leqq i{z}^2\leqq 2$である．

次の問いに答えよ．

(1)　$i{z}^2=2$であるときの複素数$z$をすべて求めよ．

(2)　$0<i{z}^2\leqq 2$であるときの複素数$z$の偏角$\theta$をすべて求めよ．ただし，$0\leqq \theta <2\pi$とする．

(3)　条件(☆)を満たす複素数$z$全体の集合を$S$とする．集合$S$を複素数平面上に図示せよ．

(4)　複素数$z$が(3)の$S$を動くとき，${\displaystyle \frac{z}{z+2}}$の実部の最小値を求めよ．

【６】　座標平面上の曲線$y=x{\sin }^{2}x$を$C$とする．自然数$n$に対して，曲線$C$上に点${\mathrm{P}}_n(n\pi ,0)\text{，}$点${\mathrm{Q}}_n({\displaystyle \frac{2n-1}{2}}\pi ,{\displaystyle \frac{2n-1}{2}}\pi )$をとる．次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$上の点${\mathrm{P}}_n$における接線の方程式を求めよ．また，曲線$C$上の点${\mathrm{Q}}_n$における接線の方程式を求めよ．

(2)　曲線$C$と線分${\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$で囲まれる部分の面積$S_n$を$n$を用いて表せ．

(3)　曲線$C$と線分${\mathrm{Q}}_n{\mathrm{Q}}_{n+1}$で囲まれる部分の面積$T_n$を$n$を用いて表せ．

(4)　$S_n$と$T_n$は，(2)と(3)で求めたものとする．極限値

$\underset{k\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{\displaystyle \sum _{n=1}^k}{S}_n}{{\displaystyle \sum _{n=1}^k}{T}_n}}$

を求めよ．

【２】　$2$次方程式$x^2-x-1=0$の解$\alpha ={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\text{，}$$\beta ={\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}$に対して，数列$\{a_n\}$を$a_n={\alpha }^n+{\beta }^n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$により定める．次の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$を求めよ．

(2)　自然数$n$に対して，${\alpha }^{n+2}-{\alpha }^{n+1}={\alpha }^n\text{，}$${\beta }^{n+2}-{\beta }^{n+1}={\beta }^n$が成り立つことを示せ．

(3)　数列$\{b_n\}$を$b_n=a_{n+1}-a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$と定める．自然数$n$に対して，$n\geqq 2$に対して，$b_{n+1}=a_n$が成り立つことを示せ．

(4)　自然数$n$に対して，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k=a_{n+2}-3$が成り立つことを示せ．

(5)　$a_9$を求めよ．

【３】　$1$個のさいころを$4$回続けて投げ，出る目の数を順に$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$とする．なお，さいころは$1$から$6$までの目が等しい確率で出るものとする．次の問いに答えよ．

(1)　$a<b<c<d$となる確率を求めよ．

(2)　$a+b+c+d=8$となる確率を求めよ．

(3)　$a(b+1)(c+2)(d+3)$が偶数になる確率を求めよ．

(4)　$(a-b)(b-c)(c-d)=0$となる確率を求めよ．

【４】　$a$は$0<a<3$を満たす実数とする．放物線$y=-x^2+9$と直線$y=a(x+3)$で囲まれる部分の面積を$S\text{，}$放物線$y=-x^2+9$と$2$つの直線$y=a(x+3)\text{，}$$x=3$で囲まれる部分の面積を$T$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$S$を$a$を用いて表せ．必要ならば，

${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}(x-\alpha )(x-\beta )\mathit{dx}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}{(\beta -\alpha )}^3$

を用いてよい．

(2)　$S+T$を$a$を用いて表せ．

(3)　$S+T$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．