2025　横浜国立大学　後期MathJax

$F_1(x)={(x-1)}^3$$-4{|x-{\displaystyle \frac{1}{2}}|}^3$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$

は最大値をとる．

(ⅱ)　$n=2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$\cdots$に対して，$x=k_n$において，関数

$F_n(x)={(x-1)}^3$$-{(n+1)}^2{|x-k_{n-1}|}^3$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$

は最大値をとる．

次の問いに答えよ．

(1)　$k_1$を求めよ．

(2)　$k_n$を$n$の式で表せ．

$f(x)=x^3$$-3x^2+a$

と定義する．$x$についての方程式$f(x)=0$は異なる$3$つの実数解を持つとする．

　次の問いに答えよ．

(1)　$a$が取りうる値の範囲を求めよ．

　$f(x)=0$の$3$つの実数解を$p\text{，}$$q\text{，}$$r$$\text{（}p<q<r\text{）}$とする．

(2)　$a$が(1)で求めた範囲を動くとき，$p$が取りうる値の範囲を求めよ．

　$xy$平面上の曲線$C$を$y=f(x)$で定める．$C$上の点$\mathrm{P}(p,0)$を通る直線$l$が，$\mathrm{P}$以外の点$\mathrm{S}$で$C$と接するものとする．$l$の傾きを$k$とし，$\mathrm{S}$の$x$座標を$s$とする．

(3)　$k\text{，}$$s$をそれぞれ$p$の式で表し，$a$が(1)で求めた範囲を動くとき，$k$が取りうる値の範囲を求めよ．

　以下の操作(＊)を考える．

ただし，袋の中のどちらの玉も，取り出される確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．

　$m$を$3$以上の整数とする．操作(＊)を繰り返し，初めて同じ色の玉が$2$回連続で取り出された時点，もしくは同じ色の玉が通算で$m$回取り出された時点で繰り返しを終了する．

　次の問いに答えよ．

(1)　操作(＊)を$3$回繰り返した時点で繰り返しが終了し，かつ，最後に赤い玉が取り出される確率を求めよ．

(2)　操作(＊)を$6$回繰り返した時点で繰り返しが終了し，かつ，最後に赤い玉が取り出される確率を求めよ．

(3)「どの玉も$2$回連続で袋から取り出されない」という条件のもとで，最後に黒い玉が取り出されて繰り返しが終了する条件付き確率を求めよ．

(4)　最後に赤い玉が取り出されて繰り返しが終了する確率を，$m$を用いて表せ．

(5)　最後に黒い玉が取り出されて繰り返しが終了する確率と，最後に白い玉が取り出されて繰り返しが終了する確率をそれぞれ$m$を用いて表せ．

【４】　長方形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{AB}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$の長さをそれぞれ$4\text{，}$$3$とする．辺$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{P}$をとる．$\mathrm{\angle APB}=\theta$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$が$\mathrm{D}$に一致するときの$\theta$を${\theta }_1\text{，}$$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{CD}$の中点に一致するときの$\theta$を${\theta }_2$とする．$\sin {\theta }_1$と$\sin {\theta }_2$の値を求めよ．

(2)　${\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{BP}}^2$を$\theta$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{CD}$上を動くとき，${\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{AP}}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{BP}}^2}}$の最大値を求めよ．

$f(x)=a\sqrt{2-x^2}$$+x\sqrt{2-a^2}$$\text{（}0<x<\sqrt{2}\text{）}$

　次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の極値を求めよ．

(2)　実数$k$に対して，関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=k$の共有点がただ$1$つであるとき，$k$のとりうる値の範囲を，$a$を用いて表せ．

(1)　$C$の概形を複素数平面上に図示せよ．

(2)　$\left|w\right|$を求めよ．

(3)　$w$の虚部がとりうる値の範囲を求めよ．

(1)　$b_1\text{，}$$b_2\text{，}$$b_3$を求めよ．

(2)　$b_{n+1}\geqq b_n+6$をみたす最小の$n$を求めよ．

(3)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対して，${(a_n-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^3\leqq n<{(a_n+{\displaystyle \frac{2}{3}})}^3$が成り立つことを示せ．

(4)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対して，$b_n$が立方数でないことを示せ．ただし，整数の$3$乗となる数を立方数とよぶ．

　次の問いに答えよ．ただし，以下では$t\text{，}$$\theta$は実数とする．

(1)　平面$z=t$において，四角錐$\mathrm{A}\mathrm{‐}{\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2{\mathrm{B}}_3{\mathrm{B}}_4$の側面と$D$の側面が，ちょうど$8$個の共有点をもつとき，$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$t$が(1)で求めた範囲にあるとき，平面$z=t$において，四角錐$\mathrm{A}\mathrm{‐}{\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2{\mathrm{B}}_3{\mathrm{B}}_4$の側面と$D$の側面が共有する$8$個の点のうち，$\mathrm{▵}\mathrm{A}{\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2$上にあり，$y$座標の値が正であるものを$\mathrm{P}\text{，}$$y$座標の値が負であるものを$\mathrm{Q}$とおき，点$(0,0,t)$を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{\angle PRQ}=2\theta$とおく．

(ⅰ)　$t$を$\theta$の式で表せ．

(ⅱ)　平面$z=t$による$E$の切り口の面積を$S$とおく．$S$を$\theta$の式で表せ．

(3)　$E$の体積$V$を求めよ．