2025　横浜国立大学　前期MathJax

【１】　中身の見えない箱が$1$つあり，その中に白いカードが$4$枚，黒いカードが$3$枚入っている．

　以下の操作ⅠからⅣを順に一度ずつ行う．

操作Ⅰ　箱からカードを無作為に$1$枚取り出し，手元に置く．

操作Ⅱ　箱からカードを無作為に$1$枚取り出し，手元に置く．

操作Ⅲ　箱からカードを無作為に$1$枚取り出し，手元に置き，操作Ⅰで取り出したカードを箱の中に戻す．

操作Ⅳ　箱からカードを無作為に$1$枚取り出し，手元に置き，操作Ⅲで取り出したカードを箱の中に戻す．

　例えば，操作Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳで白，黒，黒，白の順でカードが取り出されたとする．箱の中に入っているカードの枚数を$\left(\begin{array}{c}\text{白いカードの枚数}\\ \text{黒いカードの枚数}\end{array}\right)$で表すとき，箱の中は

$\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)$$\stackrel{\text{Ⅰ}}{\to }\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)$$\stackrel{\text{Ⅱ}}{\to }\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)$$\stackrel{\text{Ⅲ}}{\to }\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)$$\stackrel{\text{Ⅳ}}{\to }\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)$

のように変化してゆく．

　次の問いに答えよ．

(1)　操作Ⅲを終えたときに箱の中に入っている白いカードの枚数が$3$である確率を求めよ．

(2)　操作Ⅲを終えたときに箱の中に入っている白いカードの枚数と，操作Ⅳを終えたときに箱の中に入っている黒いカードの枚数が同じである確率を求めよ．

(3)　操作Ⅳを終えたときに箱の中に入っている白いカードの枚数が$4$であったという条件のもとで，操作IIIを終えたときに箱の中に入っている白いカードの枚数が$3$である条件付き確率を求めよ．

【２】　立方体$\mathrm{ABCD‐EFGH}$を考える．辺$\mathrm{AD}\text{，}$$\mathrm{GH}$の中点をそれぞれ，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．辺$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{R}$とする（ただし，$0<t<1\text{），}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{c}$と表す．いま，$4$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{F}$を通る平面上に点$\mathrm{S}$をとり，$\overrightarrow{\mathrm{AS}}=\alpha \overrightarrow{a}+\beta \overrightarrow{b}+\gamma \overrightarrow{c}$$\text{（}\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$は実数）と表す．

　次の問いに答えよ．

(1)　$\alpha$を求めよ．また，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$t$を用いて表せ．

　以降，$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$が同一平面上にあるとする．

(2)　$\beta$を$\gamma \text{，}$$t$の式で表せ．

(3)　直線$\mathrm{PS}$と直線$\mathrm{QR}$が垂直に交わるとき，$\beta \text{，}$$\gamma$をそれぞれ$t$の式で表せ．

(4)　直線$\mathrm{PS}$と直線$\mathrm{QR}$が垂直に交わり，かつ点$\mathrm{S}$が立方体の面$\mathrm{BCGF}$上にあるとき，$t$の取りうる値の範囲を求めよ．

【３】　原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面上で，関数$f(x)=x^2-x-2$で定義される曲線$C\text{：}y=f(x)$と$C$上にない点$\mathrm{R}(r,s)$を考える．$\mathrm{R}$および$C$上の異なる$2$点$\mathrm{P}(p,f(p))\text{，}$$\mathrm{Q}(q,f(q))$$\text{（}p<q\text{）}$は以下の(ⅰ)，(ⅱ)を満たすとする．

(ⅰ)　$\mathrm{P}$と$\mathrm{R}$を通る直線$l_1$は，$\mathrm{Q}$を通る$C$の接線と平行である．

(ⅱ)　$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$を通る直線$l_2$は，$\mathrm{P}$を通る$C$の接線と平行である．

　次の問いに答えよ．

(1)　$r$と$s$が満たす条件を求め，$p$と$q$をそれぞれ$r$と$s$を用いて表せ．

　さらに$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$は以下の(ⅲ)を満たす．

(ⅲ)　$l_1$と$l_2$は直交する．

(2)　$s$を$r$の式で表せ．

　さらに$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が一直線上にないとする．

(3)　$r$の取りうる値の範囲を求めよ．

(4)　$\mathrm{▵OPQ}$の面積を$T$とする．$T^2$を$r$の式で表せ．

(5)　$T^2$を$r$の関数とみなし，その定義域を(3)で求めた範囲とする．そのとき，$T^2$が極大となる$r$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\cos x}{1+\sin x}}$$\text{（}0<x<2\pi \text{）}$に対して，$xy$平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする．$f(x)$の増減，極値，$C$の凹凸，変曲点を調べ，$C$の概形を描け．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　次の極限値を求めよ．

$\underset{t\to \infty }{\lim }({\displaystyle {\int }_1^t}\log \left({\displaystyle \frac{x+1}{x}}\right)\mathit{dx}-\log t)$

【２】　$1$個のさいころを$3$回投げ，出た目を順に$n_1\text{，}$$n_2\text{，}$$n_3$とする．$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面上の点${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3$を

${\mathrm{A}}_k(\cos ({\displaystyle \frac{2n_k}{5}}\pi ),\sin ({\displaystyle \frac{2n_k}{5}}\pi ))$$\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{）}$

によって定める．

　次の問いに答えよ．

(1)　点${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3$がすべて一致する確率を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}+\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2}$と$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_3}$が平行になる確率を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_1}+\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_2}$と$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}_3}$が平行になるという条件のもとで，$n_1\text{，}$$n_2\text{，}$$n_3$がすべて奇数である条件付き確率を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　実数$x$に対して，$e^x\geqq x+1$が成り立つことを示せ．

(2)　数列$\{a_n\}$を

$a_1=1\text{，}$$a_n={\displaystyle \frac{n}{n-1}}{(1-{\displaystyle \frac{1}{3n}})}^3{a}_{n-1}$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．

(ⅰ)　$n=2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$\cdots$に対して，$1<{\displaystyle \frac{a_n}{a_{n-1}}}{e}^{\frac{1}{3n(n-1)}}$が成り立つことを示せ．

(ⅱ)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対して，$1\leqq a_n<e^{\frac{1}{3}}$が成り立つことを示せ．

【５】　$xy$平面上の曲線$C\text{：}x=y^2$を考える．実数$t$に対して，曲線$C$上の点$(t^2,t)$における$C$の法線を$l$とする．次の問いに答えよ．

(1)　法線$l$の方程式を求めよ．

(2)　曲線$C$と直線$x=1$で囲まれる領域を$D$とする．また，実数$t$が$t\leqq 0$をみたしながら動くとき，法線$l$が通過する領域を$E$とする．$D$と$E$の共通部分を求め，図示せよ．

(3)　(2)で求めた$D$と$E$の共通部分の面積を求めよ．