2025　東京海洋大学　前期海洋工学部MathJax

【１】　座標平面上の曲線$C\text{：}y=-x^2+4x$と直線$l\text{：}y=x$を考える．実数$t$に対し，$C$の点$(t,-t^2+4t)$における接線を$m$とし，$l$と$m$が共有点をもたないような$t$の値を$a$とする．

(1)　$a$を求めよ．また，$t\ne a$のとき，$l$と$m$の交点の座標を求めよ．

(2)　$0<t<a$のとき，$C$の$x\leqq a$の部分，$l$および$m$で囲まれた図形の面積を$t$を用いて表せ．

(3)　$t=-1$のとき，$C$の$x\leqq a$の部分，$l$および$m$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　一辺の長さが$1$で$\mathrm{\angle AOB}=120\mathrm{°}$のひし形$\mathrm{OACB}$を考える．線分$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{E}$を通り直線$\mathrm{CD}$と直交する直線と，直線$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　四角形$\mathrm{ODEF}$の面積を求めよ．

【３】　実数$t$に対し，座標平面上の$2$直線$l\text{：}tx+y-7t=0$および$m\text{：}-x+ty-1=0$を考える．

(1)　$l\text{，}$$m$はそれぞれ$t$の値によらずに定点を通ることを示し，それぞれの定点の座標を求めよ．

(2)　$t$が$-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\leqq t\leqq \sqrt{3}$の範囲を動くとき，$l$と$m$の交点の軌跡を図示せよ．

【４-Ⅰ】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数とし，$a>0$とする．座標平面上の$2$つの放物線$C_1\text{：}y=-x^2\text{，}$$C_2\text{：}y=a{x}^2+bx+c$を考える．

(1)　$C_1\text{，}$$C_2$が共有点をもたないための$a\text{，}$$b\text{，}$$c$についての必要十分条件を求めよ．

(2)　(1)の条件が満たされるとき，$C_1\text{，}$$C_2$の両方に接する直線が$2$本存在することを示せ．

(3)　$b=0\text{，}$$c=a^2+a$とするとき，(1)の条件が満たされるかどうか確かめ，満たされるような$a$に対し，(2)の$2$本の直線および$C_2$で囲まれる図形の面積を$a$を用いて表せ．

(4)　(1)の条件を満たす$a\text{，}$$b\text{，}$$c$に対し，(2)の$2$本の直線を$l\text{，}$$m$とする．$C_1$と$l\text{，}$$m$との接点をそれぞれ${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{Q}}_1$とし，$C_2$と$l\text{，}$$m$との接点をそれぞれ${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{Q}}_2$とする．また，$l$と$m$の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{▵}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1\mathrm{R}$と$\mathrm{▵}{\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_2\mathrm{R}$は相似であることを示し，その相似比${\displaystyle \frac{{\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_2}{{\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_1}}$を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表せ．

【４-Ⅱ】　関数$f(x)=(x-1)e^{-x+2}$に対し，座標平面上の曲線$C\text{：}y=f(x)$を考える．また，実数$p$に対し，点$\mathrm{P}(p,f(p))$における$C$の接線を$l$とする．

(1)　極限$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$および$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$を求めよ．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }x{e}^{-x}=0$を用いてよい．

(2)　$f(x)$の増減および$C$の凹凸を調べ，$C$の概形を描け，

(3)　$\mathrm{P}$が$C$の変曲点であるときの$p$に対し，$C$の$x\leqq p$の部分，$l$の$x\geqq p$の部分，および$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．