2025　東京海洋大学　前期海洋生命科,海洋資源環境学部MathJax

【１】　$3$次関数

$f(x)=x^3$$-{\displaystyle \frac{3}{2}}(2+k)x^2+6kx$

について，次の問いに答えよ．ただし，$k$は実数の定数とする．

(1)　$k=1$のとき，$y=f(x)$のグラフをかけ．また，区間$-2\leqq x\leqq 3$における$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．

(2)　$k>2$のとき，区間$-2\leqq x\leqq 3$における$f(x)$の最大値を$k$を用いて表し，そのときの$x$の値を求めよ．

【２】　$\mathrm{K}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{I}\text{，}$$\mathrm{Y}\text{，}$$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{I}$の$8$文字を使ってできる文字列について，次の問いに答えよ．ただし，同じ文字は区別せず，また，$8$文字のうち子音は$\mathrm{K}\text{，}$$\mathrm{Y}\text{，}$$\mathrm{D}$である．

(1)　$8$文字すべてを使ってできる文字列はいくつあるか．

(2)　$8$文字すべてを使ってできる文字列のなかで，同じ文字が少なくとも$1$組は隣り合うものはいくつあるか．

(3)　$8$文字すべてを使ってできる文字列のなかで，どの子音も隣り合わないものはいくつあるか．

【３】　関数$f(x)=2x^2-ax-a^2$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は実数の定数とする．

(1)　$2$次方程式$f(x)=0$のすべての解が$-1\leqq x\leqq 1$にあるとき，$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　(1)で求めた範囲を満たす$a$に対して，

$S(a)={\displaystyle {\int }_{-1}^1}|f(x)|\mathit{dx}$

とする．$S(a)$を求めよ．

【４】　$xy$平面上の$2$点$\mathrm{A}(-1,0)\text{，}$$\mathrm{B}(1,0)$に対して，点$\mathrm{P}(x,y)$が条件

$\mathrm{AP}:\mathrm{BP}=m:1$$\text{（}m>0\text{）}$

を満たしながら動くとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

(2)　$m=2\text{，}$$x>0\text{，}$$y>0$のとき，$x+2y$の最大値を求めよ．

【５】　$n$を正の整数とし，多項式$P(n)=n^4+2$と$Q(n)=n^2+2$の最大公約数を$G(n)$とする．一般に，正の整数$a\text{，}$$b$について，$a$を$b$で割ったときの余りを$r$とすると，$a$と$b$の最大公約数は，$b$と$r$の最大公約数に等しくなる．等式

$P(n)=Q(n)(n^2-2)+6$

が成り立つことに注意して，$G(n)$を求めよ．