2025　一橋大学　後期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$が$a^2+b^2=c^2$を満たすとき，$ab$は$4$の倍数であることを示せ．

(2)　$3$辺の長さがすべて整数で，そのうちの$1$辺の長さが$2025$である直角三角形の面積は$162$の倍数であることを示せ．

【２】　$f(x)=x^3$とする．また$k$を実数とする．$4$点$(k-1,f(k-1))\text{，}$$(k+1,f(k-1))\text{，}$$(k+1,f(k+1))\text{，}$$(k-1,f(k+1))$を頂点とする長方形の面積を$S$とし，この長方形の中で$y=f(x)$のグラフの下側にある部分の面積を$T$とする．

$m={\displaystyle \frac{T}{S}}$

の最大値と，そのときの$k$の値を求めよ．

【３】　平面上に$\mathrm{▵OAB}$がある．辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$が

$\mathrm{\angle AOM}=\mathrm{\angle MON}$$=\mathrm{\angle NOB}={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{\angle AOB}\text{，}$

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}:\overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}:\overrightarrow{\mathrm{ON}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$$=1:2:3$

を満たすとする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

【４】　数直線上の原点$0$に置かれた点$\mathrm{P}$に対し，次のような試行を考える．

硬貨を投げて表が出れば$\mathrm{P}$を$+1$だけ移動させ，裏が出れば$\mathrm{P}$を$-1$だけ移動させる，という操作を繰り返す．$\mathrm{P}$が$3$または$-2$に移動したとき，もしくは$\mathrm{P}$を移動させた回数が$7$回になったとき，終了する．

(1)　この試行において，$\mathrm{P}$をちょうど$4$回移動させる確率を求めよ．

(2)　この試行を終了したときに，$\mathrm{P}$が$3$にある確率を求めよ．

(3)　この試行において，$\mathrm{P}$を$7$回移動させる確率を求めよ．

【５Ⅰ】　$t$を実数とし，座標平面において

$x^2+y^2-1-t(4x+2y-10)=0$

で表される図形$C$を考える．$C$が半径$1$以上$4$以下の円となるように$t$が動くとき，$C$が通過してできる領域を求め，図示せよ．

【５Ⅱ】　以下の問いに答えよ．

(1)　$n$を$0$以上の整数とし，

$a_n={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{t^{4n}}{t^2+1}}\mathit{dt}$

とする．$a_{n+1}-a_n$を$n$で表せ．

(2)　正の整数$n$について

$0<\pi -{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{8}{(4k-3)(4k-1)}}<{\displaystyle \frac{1}{n}}$

が成り立つことを示せ．