2025　一橋大学　前期MathJax

【１】　正の整数$n$に対し，$n$の正の約数の個数を$d(n)$とする．たとえば，$6$の正の約数は$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$6$の$4$個なので，$d(6)=4$である．また，

$f(n)={\displaystyle \frac{d(n)}{\sqrt{n}}}$

とする．

(1)　$f(2025)$を求めよ．

(2)　素数$p$と正の整数$k$の組で$f(p^k)\leqq f(p^{k+1})$を満たすものを求めよ．

(3)　$f(n)$の最大値と，そのときの$n$を求めよ．

【２】　座標平面上に原点を中心とする半径$3$の円$C_1$がある．また，直線$x=2$上の点$\mathrm{P}$を中心とする半径$1$の円を$C_2$とする．

(1)　$C_1$と$C_2$が共有点を$2$つ持つような$\mathrm{P}$の$y$座標の範囲を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$が共有点を$2$つ持つとき，その$2$つの共有点を通る直線を$l$とする．$l$に関して$\mathrm{P}$と対称な位置にある点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$\mathrm{P}$が$l$上にあるときは$\mathrm{Q}=\mathrm{P}$とする．$\mathrm{P}$の$y$座標が(1)で求めた範囲を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡を求め，図示せよ．

【３】　等式

$6{\displaystyle {\int }_0^2}|x^2-a|\mathit{dx}=a^2-2a+k$

が成り立つ実数$a$がちょうど$4$つ存在するような実数$k$の範囲を求めよ．

【４】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内の$2$点$\mathrm{A}(0,3,-5)\text{，}$$\mathrm{B}(5,-2,10)$に対して

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\{(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}\}\text{，}$$s\geqq 0\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{5}}\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{3}{5}}$

で定まる点$\mathrm{P}$が存在する範囲を$D$とする．$D$に含まれる半径$10\sqrt{2}$の円のうち，その中心と原点との距離が最小となるものを$C$とする．円$C$の中心の座標を求めよ．

【５】　$5$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$が右図のように線分でむすばれている．点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots$を次のように定めていく．${\mathrm{P}}_1$を$\mathrm{A}$とする．正の整数$n$に対して，${\mathrm{P}}_n$を端点とする線分をひとつ無作為にえらび，その線分の${\mathrm{P}}_n$とは異なる端点を${\mathrm{P}}_{n+1}$とする．

(1)　${\mathrm{P}}_n$が$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$である確率$p_n$を求めよ．

(2)　${\mathrm{P}}_n$が$\mathrm{A}$または$\mathrm{B}$であるとき，$k=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n$のいずれに対しても${\mathrm{P}}_k=\mathrm{E}$とはならない条件付き確率$q_n$を求めよ．