2025　電気通信大学　後期MathJax

$f(x)=4\cos x-{\displaystyle \frac{3(\sin x+1)}{\cos x}}$

を考える．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で$f(x)=0$となる$x$の値を$\alpha$とする．$\sin \alpha$の値を求めよ．

(ⅱ)　極限値$\underset{x\to -\frac{\pi }{2}}{\lim }f(x)$を求めよ．

(ⅲ)　$f(x)$の導関数を$f^{\prime }(x)$とする．方程式$f^{\prime }(x)=0$を解け．

(ⅳ)　$f(x)$の極値を求めよ．

(ⅴ)　$x\geqq 0$の範囲で，曲線$y=f(x)$と$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

(ⅵ)　$k$を実数とし，$\theta$に関する方程式

$4{\cos }^2\theta$$-3\sin \theta$$-3$$-k\cos \theta =0$

を考える．この方程式が$-\pi <\theta <\pi$の範囲に異なる$4$個の実数解をもつための$k$の条件を求めよ．

$f(t)=\log (1+|1-t^2|)\text{，}$$g(t)={\displaystyle \frac{1}{3}}t(4-t^2)$

を用いて媒介変数表示された曲線

$C\text{：}\{\begin{array}{l}x=f(t)\\ y=g(t)\end{array}$$\text{（}-2\leqq t\leqq 2\text{）}$

を考える．ただし，$\log$は自然対数を表す．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　実数$\alpha \text{，}$$\beta$が

$0\leqq \alpha <1\text{，}$$1<\beta \leqq 2\text{，}$$f(\alpha )=f(\beta )$

をみたすとき，${\alpha }^2+{\beta }^2$の値を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)の$\alpha \text{，}$$\beta$に対して，$\gamma =\beta -\alpha$とおく．$3\{g(\beta )-g(\alpha )\}$を$\gamma$の式で表せ．

(ⅲ)　曲線$C$の$0\leqq t\leqq 1$に対応する部分を$C_1$とし，$1\leqq t\leqq 2$に対応する部分を$C_2$とする．このとき，$C_1$と$C_2$は点$(f(1),g(1))$以外に共有点をもたないことを示せ．

(ⅳ)　曲線$C_1$と$x$軸および$y$軸で囲まれた部分$D_1$の面積$S_1$を求めよ．

(ⅴ)　曲線$C_2$と$x$軸および$y$軸で囲まれた部分$D_2$の面積$S_2$を求めよ．

(ⅵ)　曲線$C$で囲まれた部分$E$の面積$T$を求めよ．

【３】　次の条件をみたす四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．辺$\mathrm{AD}\text{，}$$\mathrm{BC}$上にそれぞれ点$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$があって，線分$\mathrm{EF}$は辺$\mathrm{AD}\text{，}$$\mathrm{BC}$の両方と垂直である．$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{EF}}\text{=}\overrightarrow{c}$とおく．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　辺$\mathrm{AD}\text{，}$$\mathrm{BC}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$をとり，$\overrightarrow{\mathrm{EP}}=r\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{FQ}}=s\overrightarrow{b}$$\text{（}r\text{，}$$s$は実数）とする．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$r\text{，}$$s$を用いて表せ．さらに，線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小となるのは$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$がそれぞれ$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$に一致するときであることを示せ．

　以下では$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=5\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=6\text{，}$$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=7$であるとする．

(ⅱ)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

(ⅲ)　$0<t<1$のとき，辺$\mathrm{AB}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，辺$\mathrm{BD}\text{，}$$\mathrm{AC}$上にそれぞれ点$\mathrm{S}\text{，}$$\mathrm{T}$を$\mathrm{RS}⫽\mathrm{AD}\text{，}$$\mathrm{RT}⫽\mathrm{BC}$となるようにとる．四面体$\mathrm{ABCD}$を$3$点$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}\text{，}$$\mathrm{T}$を通る平面で切った切り口は平行四辺形となる．その平行四辺形の面積$u(t)$を求めよ．

(ⅳ)　(ⅲ)の切り口と線分$\mathrm{EF}$の交点を$\mathrm{G}$とする．必要なら三角形$\mathrm{AEF}$に注目して，線分$\mathrm{EG}$の長さ$l(t)$を求めよ．

(ⅴ)　四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．

$a_n=n{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^{p(n)}\text{，}$$b_n={\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}$

で定められる数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を考える．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$r$を$r>1$をみたす実数とする．$x\geqq 0$で定義された関数$f(x)=x^2{r}^{-x}$の最大値$M(r)$を求めよ．

(ⅱ)　必要なら(ⅰ)の結果を用いて，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

(ⅲ)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_{2n}$および$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_{2n-1}$を求めよ．

(ⅳ)　$0<t<1$をみたす実数$t$に対して，$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{t}^{k-1}$と定める．必要なら(ⅰ)の結果を用いて，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n$を求めよ．

(ⅴ)　$A_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$と定める．極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_{2n}$および$\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_{2n-1}$を求めよ．