2025　電気通信大学　前期MathJax

【１】　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で定義された$2$つの関数

$f(x)=\tan x+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\cos x\text{，}$$g(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\cos x+{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\sin x$

について，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　不等式$f(x)\leqq g(x)$をみたす$x$の範囲を求めよ．

(ⅱ)　曲線$y=f(x)$と$x$軸の共有点の$x$座標を$\alpha \text{，}$曲線$y=g(x)$と$x$軸の共有点の座標を$\beta$とするとき，$\sin \alpha \text{，}$$\sin \beta$の値を求めよ．

(ⅲ)　関数$g(x)$が$x=\gamma$で極値をとるとする．$\sin \gamma$の値を求めよ．

(ⅳ)　次の不定積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．

$I={\displaystyle \int }{\tan }^{2}x\mathit{dx}$

(ⅴ)　不等式$0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の表す領域において曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分を$D$とするとき，$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積 $V$を求めよ．

【２】　$a>0$とする．関数

$f(x)=2(x-1)e^x$$-a{x}^2+5a$

について，以下の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(ⅰ)　関数$f(x)$の導関数を$f^{\prime }(x)$とする．方程式$f^{\prime }(x)=0$を解け．

(ⅱ)　関数$f(x)$が極小値$0$をもつような$a$の値をすべて求めよ．

(ⅲ)　次の不定積分を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．

$I={\displaystyle \int }(x-1)e^x\mathit{dx}$

(ⅳ)　$a=2$とし，曲線$y=f(x)$上の点$(0,f(0))$における接線を$l$とする．曲線$y=f(x)$と接線$l$で囲まれた領域の面積$S$を求めよ．

【３】　時刻$t$における座標が

$x=\cos 5t\text{，}$$y=\cos 6t$$\text{（}0\leqq t\leqq \pi \text{)}$

で表される座標平面上の点$\mathrm{P}$の運動を考える．点$\mathrm{P}$がえがく曲線を$C$とする．曲線$C$の概形は右図のようになり，$t$が$0\leqq t\leqq \pi$の範囲で動くとき点$\mathrm{P}$が$2$回通過する点は$10$個ある．そのうち$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{M}$を右図のようにとる．$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{4}}$を用いて，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{M}$は$y$軸上の$y<0$の部分にある．点$\mathrm{M}$の$y$座標を，有理数$a\text{，}$$b$を用いて$a+b\sqrt{5}$の形で表せ．

(ⅱ)　$0\leqq t\leqq \pi$の範囲で次の方程式を解け．

$\cos 6t=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}$

(ⅲ)　${\alpha }_1={\displaystyle \frac{\pi }{30}}$とする．$t={\alpha }_1$のとき$(\cos 5{\alpha }_1,\cos 6{\alpha }_1)$は点$\mathrm{A}$である．${\alpha }_1<{\alpha }_2<\pi$をみたすある値${\alpha }_2$について，$t={\alpha }_2$のときも$(\cos 5{\alpha }_2,\cos 6{\alpha }_2)$が点$\mathrm{A}$となる．この値 ${\alpha }_2$を求めよ．

(ⅳ)　点$\mathrm{M}$と第$3$象限の点$\mathrm{B}$は$y$座標が等しい．点$\mathrm{B}$の$x$座標を求めよ．また，直線$\mathrm{AB}$の方程式を，実数$m\text{，}$$n$を用いて$y=mx+n$の形で表せ．

【４】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}\text{，}$$\{c_n\}$を考える．

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=b_n+c_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_1=2\text{，}$$b_{n+1}=c_n+a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$c_1=3\text{，}$$c_{n+1}=a_n+b_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a_2\text{，}$$b_2\text{，}$$c_2$を求めよ．

(ⅱ)　$a_n-b_n\text{，}$$c_n-b_n$をそれぞれ$n$の式で表せ．

(ⅲ)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅳ)　数列$\{a_n\}$の一般項と数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅴ)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{a_n}{c_n}}$の収束，発散について調べ，収束するときにはその和を求めよ．