2025　お茶の水女子大学　前期理学部選択MathJax

(1)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を通る直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$t$が$-1\leqq t\leqq 1$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$が通過する部分を$D$とする．ただし，その境界（境界線）も含むとする．

(ⅰ)　$2$点$\mathrm{A}(0,-2)\text{，}$$\mathrm{B}(1,3)$は，それぞれ$D$に含まれないことを示せ．

(ⅱ)　$D$を図示し，その面積を求めよ．

(1)　$g^{\prime }(x)=0$となる$x$を求めよ．

(2)　$x>{\displaystyle \frac{1}{e}}$のとき，$g(x)>{\displaystyle \frac{1}{e}}$が成り立つことを示せ．

(3)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対して，$a_{n+1}=g(a_n)$であることを示し，${\displaystyle \frac{1}{e}}<a_{n+1}<a_n$が成り立つことを示せ．

(4)　${\displaystyle \frac{1}{e}}<x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$-e<{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{x-{\displaystyle \frac{1}{e}}}}<-2$が成り立つことを示せ．

(5)　$|a_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{e}}|\leqq (1-\log 2)|a_n-{\displaystyle \frac{1}{e}}|$が成り立つことを示し，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k=N$

を満たす$n$個の自然数$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$の逆数の和

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}$

の最大値を$M(n,N)\text{，}$最小値を$m(n,N)$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$M(3,6)$と$m(3,6)$を求めよ．

(2)　$1<a\leqq b$を満たす自然数$a\text{，}$$b$に対して${\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}$と${\displaystyle \frac{1}{a-1}}+{\displaystyle \frac{1}{b+1}}$の大小関係を調べよ．

(3)　$M(n,N)$を$n\text{，}$$N$を用いて表せ．

(4)　$m(n,N)={\displaystyle \frac{1}{a_1}}+{\displaystyle \frac{1}{a_2}}$$+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{a_n}}$のとき，$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$a_n$には，差が$2$以上の二つの数は含まれないことを示せ．

(5)　$N$を$n$で割った余りを$r$$\text{（}0\leqq r<n\text{）}$とする．このとき，$m(n,N)$を$n\text{，}$$N\text{，}$$r$を用いて表せ．

(1)　$g^{\prime }(x)=0$となる$x$を求めよ．

(2)　$x>{\displaystyle \frac{1}{e}}$のとき，$g(x)>{\displaystyle \frac{1}{e}}$が成り立つことを示せ．

(3)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対して，$a_{n+1}=g(a_n)$であることを示し，${\displaystyle \frac{1}{e}}<a_{n+1}<a_n$が成り立つことを示せ．