2025　お茶の水女子大学　前期共通MathJax

【１】　$k$を自然数とする．赤玉$1$個と白玉$10$個と黒玉$4$個を一つの袋に入れ，玉を$1$個取り出し元に戻す試行を繰り返す．$a_k$を以下のルールによって定める．

・$k$回目の試行で赤玉を取り出した場合には$a_k=1$とする．

・$k$回目の試行で白玉を取り出した場合には$a_k=2$とする．

・$k$回目の試行で黒玉を取り出した場合には$a_k=3$とする．

また，自然数$n$に対し，

$x_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{4}^{n-k}{a}_k$$=4^{n-1}{a}_1$$+4^{n-2}{a}_2$$+\cdots$$+4a_{n-1}+a_n$

とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$2$回の試行を行い，$1$回目の試行で白玉，$2$回目の試行で黒玉を取り出したときの$x_2$を求めよ．

(2)　$3$回の試行を行ったとき，$x_3$が$42$未満の偶数となる確率を求めよ．

(3)　$2$回の試行を行い，$a_1$と$a_2$が異なる値であったとき，$x_2$が$7$の倍数である条件付き確率を求めよ．

(4)　$n$回の試行を行ったとき，$x_1+x_2$$+\cdots +x_n$が偶数となる確率$P_n$を求めよ．

【２】　平面において$\mathrm{OA}=3\text{，}$$\mathrm{OB}=2\text{，}$$\mathrm{AB}=\sqrt{7}$である三角形$\mathrm{OAB}$を考える．直線$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$を，線分$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$が垂直となるようにとる．

　$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$として以下の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{\angle POQ}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$となる点$\mathrm{Q}$がただ一つあることを示し，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

【３】　以下の問いに答えよ．必要であれば，${\displaystyle \frac{31}{10}}<\pi <{\displaystyle \frac{22}{7}}$を用いてよい．

(1)　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$x<\tan x$が成り立つことを示せ．

(2)　$0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{1-x^2}}$が成り立つことを示せ．

(3)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{8}}}{\displaystyle \frac{1}{1-x^2}}\mathit{dx}$を計算せよ．

(4)　${\displaystyle \frac{7}{180}}\pi <\tan 7\mathrm{°}<{\displaystyle \frac{1}{2}}\log {\displaystyle \frac{9}{7}}$が成り立つことを示せ．

【３】　$a$を正の定数とし，$p$を$p>a$を満たす実数とする．$xy$平面の曲線$C\text{：}y=x^2-2ax$上の点$\mathrm{P}(p,p^2-2ap)$における$C$の接線を$l$とし，点$\mathrm{P}$を通り$l$に垂直な直線を$m$とする．また，$2$直線$l\text{，}$$m$と$y$軸で囲まれた図形$D$の面積を$S$とし，$T={\displaystyle \frac{S}{p^2}}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$l\text{，}$$m$の方程式をそれぞれ求めよ．

(2)　$T$を$p\text{，}$$a$を用いて表せ．

(3)　$T$の最小値を求めよ．そのときの$p$を$a$を用いて表せ．

(4)　(3)で求めた$p$に対し，曲線$C$が$D$の面積を二等分するとする．このときの$a$の値を求めよ．