2025　東京科学大学　総合型選抜理学院MathJax

【１】　$x>0$に対して関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{|2-\log x|}{x^2}}$

と定める．ただし$\log$は自然対数を表す．

(1)　$f(x)$のグラフの概形をかけ．なお，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x^2}}=0$は証明なしに使ってよい．

(2)　各$a\geqq 0$に対して$f(x)=a$の解の個数を求めよ．

【２】　$n$を$0$以上の整数とする．このとき極限値

$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^a}{\displaystyle \frac{x^n}{e^x}}\mathit{dx}$

を求めよ．なお，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^n}{e^x}}=0$は証明なしに使ってよい．

【３】　$xyz$空間内の，$2$つの立体

$C\text{：}\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|\leqq \sqrt{2}$

$D\text{：}{x}^2+y^2\leqq 1$

を考える．

(1)　$x$軸と座標が$x$の点で垂直に交わる平面で立体$C\cap D$を切ったときの切り口の面積$S(x)$を求めよ．

(2)　$C\cap D$の体積を求めよ．