2025　東京科学大学　前期理工学系MathJax

【１】　$f(x)$を$x\geqq 0$に対して$f(x)=x\log (1+x)$と定める．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }x\log (1+x)\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　$y=f(x)$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$の逆関数を$y=g(x)$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$とする．また$a\text{，}$$b$を$g(a)=1\text{，}$$g(b)=2$となる実数とする．このとき定積分

$I={\displaystyle {\int }_a^b}g(x)\mathit{dx}$

の値を求めよ．

(3)　関数$P(x)$を$x\geqq 0$に対して$P(x)={\displaystyle {\int }_0^x}\sqrt{1+f(t)}\mathit{dt}$と定める．このとき$y=P(x)$について，定義域を$x\geqq 0$とする逆関数$y=Q(x)$が微分可能であることは証明なしに認めてよい．関数$R(x)$を$x\geqq 0$に対して

$R(x)={\displaystyle {\int }_0^{P(x)}}{\displaystyle \frac{1}{Q^{\prime }(v)}}\mathit{dv}$

と定めるとき，$R(x)$を求めよ．

【２】　空間の点$(0,0,1)$を通り$(1,-1,0)$を方向ベクトルとする直線を$l$とし，点$(1,0,3)$を通り$(0,1,-2)$を方向ベクトルとする直線を$m$とする．

(1)　$\mathrm{P}$を$l$上の点とし，$\mathrm{Q}$を$m$上の点とする．また直線$\mathrm{PQ}$は直線$l$と直線$m$に垂直であるとする．このとき$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標，および線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．

(2)　$l$上に$2$点

$\mathrm{A}=(t,-t,1)$

$\mathrm{B}=(2+t+\sin t,-2-t-\sin t,1)$

があり，$m$上に$2$点

$\mathrm{C}=(1,t,3-2t)$

$\mathrm{D}=(1,2+t+\cos t,-1-2t-2\cos t)$

があるとする．ただし，$t$は実数とする．四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を$V(t)$とする．$V(0)$を求めよ．

(3)　$t$が$t\geqq 0$を動くとき，$V(t)$の最大値と最小値を求めよ．

【３】　$0<p<1$とする．表が出る確率が$p\text{，}$裏が出る確率が$1-p$である$1$枚のコインを使って次のゲームを行う．

・ゲームの開始段階で点数は$0$点．

・コインを投げ続け，表が出るごとに$1$点加算し，裏が出たときは点数はそのまま．

・$2$回続けて裏が出たらゲームは終了．

$0$以上の整数$n$に対し，ゲームが終わったときに$n$点となっている確率を$Q_n$とする．

(1)　$Q_1\text{，}$$Q_2$を$p$を用いて表せ．

(2)　$Q_n$を$n$と$p$を用いて表せ．

(3)　$0<x<1$を満たす実数$x$に対して次式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \frac{1}{{(1-x)}^2}}={\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}(n+1)x^n$

必要ならば$0<x<1$のとき$\underset{n\to \infty }{\lim }n{x}^n=0$であることを証明なしで使ってもよい．

(4)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }}n{Q}_n$を$p$を用いて表せ．

【４】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=a_2=1$

$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

により定め，数列$\{b_n\}$を

$\tan b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$

により定める．ただし，$0<b_n<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$であるものとする．

(1)　$n\geqq 2$に対して，$a_{n+1}{a}_{n-1}-a_n^2$を求めよ．

(2)　$m\geqq 1$$\text{（}m$は整数）に対して，$a_{2m}\cdot \tan (b_{2m+1}+b_{2m+2})$を求めよ．

(3)　無限級数${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }}{b}_{2m+1}$を求めよ．

【５】(1)　関数

$f(t)={\displaystyle \frac{t^2-1}{t^3}}$$\text{（}t\ne 0\text{）}$

の増減を調べ，グラフの概形をかけ．

(2)　実数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$が，条件

$\{\begin{array}{l}x<y<z\\ xyz\ne 0\\ x^3{y}^2-x^3=x^2{y}^3-y^3\\ y^3{z}^2-y^3=y^2{z}^3-z^3\end{array}$

を満たしながら動くとき，$x$が取り得る値の範囲を求めよ．