2025　東京科学大学　前期医,歯学部MathJax

【１】　$20$個の合同な正三角形の面を持ち，各頂点に$5$つの面が集まるへこみのない多面体を，正二十面体という．各面に$20$種類の異なる目が$1$つずつ与えられており，すべての目が等しい確率で出る正二十面体のサイコロを$I$とする．$I$の$2$つの面$A\text{，}$$B$に対し，$I$の表面上を，$A$の内部の点から$B$の内部の点へ，$I$の頂点を通らずに移動するとき，横切る$I$の辺の本数の最小値を$d(A,B)$とする．たとえば，$A$と$B$が$1$辺を共有しているとき，$d(A,B)=1$となる．また，$I$の任意の面$A$に対し，$d(A,A)=0$とする．さらに，$I$を$n$回投げたとき，$i$回目に出た目に対応する面を$F_i$とし，$n\geqq 2$のとき，$d(F_i,F_j)$$\text{（}1\leqq i<j\leqq n\text{）}$の最大値を$M\text{，}$最小値を$m$とする．このとき，以下の各問いに答えよ．

(1)　$xyz$空間において，$I$の$1$つの面と$xy$平面が平行となるように$I$を配置したとき，$I$の頂点または辺上の点を通り$z$軸に平行な直線と$xy$平面の交点全体の集合がなす図形を$I^{\prime }$とする．$I^{\prime }$の概形を描け．ただし，$I^{\prime }$における線分どうしの長さの比やなす角の角度は正確でなくてもよい．

(2)　$n=2$のとき，$0$以上の整数$k$に対し，$d(F_1,F_2)=k$となる確率を$P_k$とする．$P_k>0$となるすべての$k$に対して，それぞれ$P_k$を求めよ．

(3)　$n=3$のとき，$M\geqq 3$となる確率を求めよ．

(4)　$n\geqq 3$のとき，$m\geqq 3$となる確率を求めよ．

(5)　$n\geqq 10$のとき，$1\leqq m\leqq M\leqq 4$となる確率を求めよ．

【２】　$xy$平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(2,4)\text{，}$$\mathrm{B}(3,7)$をとる．さらに，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=m\overrightarrow{\mathrm{OA}}+n\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

となる整数$m\text{，}$$n$が存在するような$xy$平面上の点$\mathrm{P}$全体の集合を$L$とする．このとき，以下の各問いに答えよ．

(1)　${\mathrm{P}}_1(1,1)\text{，}$${\mathrm{P}}_2(2,1)\text{，}$${\mathrm{P}}_3(3,1)$は$L$に属するか．それぞれ判定せよ．

(2)　$L$に属する点のうち，$x$軸上にあるものをすべて求めよ．

(3)　$2$点${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{B}}^{\prime }$を$L$の要素とする．$L$の任意の要素$\mathrm{P}$に対して，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=m^{\prime }\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }}+n^{\prime }\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}^{\prime }}$

となる整数$m^{\prime }\text{，}$$n^{\prime }$が存在するとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{A}}^{\prime }}\right|+\left|\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{B}}^{\prime }}\right|$の最小値を求めよ．

(4)　任意の$L$の要素$\mathrm{P}$に対して，内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$が整数となるような$xy$平面上の点$\mathrm{Q}$全体の集合を$M$とする．$M$の要素のうち，$x$座標および$y$座標の絶対値がともに$1$以下であるものをすべて求めよ．

【３】　$a$を$1$より大きい実数とし，$xy$平面上の曲線$C_1\text{：}y=a^x$および曲線$C_2\text{：}y={\log }_{a}x$について考える．原点を$\mathrm{O}$とし，$C_1$上に点$\mathrm{P}\text{，}$$C_2$上に点$\mathrm{Q}$をとる．このとき，以下の各問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{O}$を通る傾き$k$の直線が$C_1$に接するとき，$a$の値を$k$を用いて表せ．また，接点の座標を$a$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{O}$を通る直線が$C_2$に接するとき，接点の座標を$a$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{▵OPQ}$が正三角形となるような$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の組の個数を，$a$の値で場合分けして求めよ．

【３】　$a$を$1$より大きい実数とし，$xy$平面上の曲線$C_1\text{：}y=a^x$および曲線$C_2\text{：}y={\log }_{a}x$について考える．原点を$\mathrm{O}$とし，$C_1$上に点$\mathrm{P}\text{，}$$C_2$上に点$\mathrm{Q}$をとる．このとき，以下の各問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{O}$を通る傾き$k$の直線が$C_1$に接するとき，$a$の値を$k$を用いて表せ．また，接点の座標を$a$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{O}$を通る直線が$C_2$に接するとき，接点の座標を$a$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$をどのようにとっても$\mathrm{▵OPQ}$が正三角形とならないような$a$の範囲を求めよ．

(4)　$\mathrm{▵OPQ}$が正三角形となるような$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の組がちょうど$3$個存在するような$a$の値を求めよ．