2025　東京農工大学　後期工学部MathJax

【１】　点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円を$Z$とする．円$Z$上の$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=3\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を満たすとする．$t$は$0<t<1$を満たす実数とし，線分$\mathrm{AB}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{OB}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えよ．

〔1〕　$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

〔2〕　実数$k$は$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=k\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を満たすとする．$k$を$t$を用いて表せ．

〔3〕　円$Z$上の点$\mathrm{R}$が，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{0}$を満たすとする．

(1)　$t$の値を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵ABR}$の面積を求めよ．

【２】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{6}{x\sqrt{x+7}}}$$\text{（}-7<x<0\text{，}$$x>0\text{）}$

と定める．次の問いに答えよ．

〔1〕　$a$は定数とする．方程式$f(x)=a$の異なる実数解の個数を求めよ．

〔2〕　曲線$y=f(x)$と直線$y=-1$で囲まれた部分の面積を求めよ．