2025　東京農工大学　前期MathJax

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(1,-4,0)\text{，}$$\mathrm{B}(2,-3,1)\text{，}$$\mathrm{C}(-1,2,-2)$がある．$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が定める平面を$\alpha$とする．また，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{OD}$を下ろす．次の問いに答えよ．

〔1〕点$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

〔2〕直線$\mathrm{AD}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とする．点$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

〔3〕$x\text{，}$$y$は実数とし，点$\mathrm{P}$は$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\overrightarrow{\mathrm{AB}}+y\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=8$を満たすとする．

(1)　$y$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の最小値を求めよ．また，最小値をとるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【２】　関数

$f(x)=\tan x$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

の逆関数を$g(x)$とする．次の問いに答えよ．

〔1〕$g(\sqrt{3})\text{，}$$g(-1)$の値を，それぞれ求めよ．

〔2〕$g(3)=\alpha \text{，}$$g(7)=\beta$とおく．

(1)　$\tan \alpha \text{，}$$\cos \alpha \text{，}$$\sin \alpha$の値を，それぞれ求めよ．

(2)　$\tan (2\alpha +\beta )$の値を求めよ．

(3)　$2\alpha +\beta$の値を求めよ．

【３】　$b$は正の定数とする．座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$(x,y)$が

$x=b\cos t\text{，}$$y=\sin 2t$

で表されるとき，次の問いに答えよ．

〔1〕$t={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$における点$\mathrm{P}$の速さと加速度の大きさを，それぞれ$b$を用いて表せ．

〔2〕点$\mathrm{P}$の速さの最小値を，$b$を用いて表せ．

〔3〕$b=2\sqrt{2}$とする．$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，点$\mathrm{P}$の速度ベクトルと加速度ベクトルが垂直となる時刻$t$を求めよ．

【４】　$e$は自然対数の底とする．$xy$平面において，$t$を媒介変数として，

$x=e^t+t\text{，}$$y=e^t+2e^{-t}-3$

で表される曲線を$C$とする．次の問いに答えよ．

〔1〕曲線$C$と$x$軸の共有点の座標を求めよ．

〔2〕曲線$C$上の点で，$y$座標が最小となる点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

〔3〕曲線$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．