2025　東京学芸大学　前期MathJax

【１】　整数係数の$3$次式$f(x)=x^3$$+a{x}^2$$+bx+c$を考える．方程式$f(x)=0$が重解をもたず，すべての解の絶対値が$1$となるとき，下の問いに答えよ．

(1) 方程式$f(x)=0$は少なくとも$1$つの虚数解をもつことを示せ．

(2)　方程式$f(x)=0$の虚数解$\alpha$に対して，${\alpha }^n=1$となる最小の自然数$n$のとりうる値をすべて求めよ．

【２】　複素数平面上の$4$点$\mathrm{A}(1)\text{，}$$\mathrm{B}(z)\text{，}$$\mathrm{C}(z^2)\text{，}$$\mathrm{D}(z^3)$に対して，下の問いに答えよ．

(1)　$4$点のうち少なくとも$2$点が一致するような$z$の値をすべて求めよ．

(2)　$4$点が同一円周上にある四角形$\mathrm{ABCD}$をなすような$z$を複素数平面上に図示せよ．ただし，四角形$\mathrm{ABCD}$の頂点の順序は時計回りと反時計回りの両方の場合を考える．

【３】　連続関数$f_1(x)\text{，}$$f_2(x)\text{，}$$\cdots \text{，}$$f_n(x)\text{，}$$\cdots$が

$f_1(x)=2x\text{，}$$f_n(x)=x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{1}{2}}}x{f}_{n-1}(t)e^{2t}\mathit{dt}$$\text{（}n\geqq 2\text{）}$

を満たすとき，各$x$に対して$\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)$を求めよ．

【４】　関数$f(x)$が，すべての実数$x\text{，}$$h$に対して不等式

$(x+h)f(x+h)$$-xf(x)$$-xh\leqq h^2$

を満たすとき，下の問いに答えよ．

(1)　不等式

$(x+h)f(x+h)$$-xf(x)$$-xh\geqq 0$

を示せ．

(2)　関数$xf(x)$がすべての$x$で微分可能であることを示せ．

(3)　$f(0)=0$を満たす$f(x)$を求めよ．