2025　東京大学　前期MathJax

【１】　座標平面上の点$\mathrm{A}(0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,1)\text{，}$$\mathrm{C}(1,1)\text{，}$$\mathrm{D}(1,0)$を考える．実数$0<t<1$に対して，線分$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CD}$を$t:(1-t)$に内分する点をそれぞれ${\mathrm{P}}_t\text{，}$${\mathrm{Q}}_t\text{，}$ ${\mathrm{R}}_t$とし，線分${\mathrm{P}}_t{\mathrm{Q}}_t\text{，}$${\mathrm{Q}}_t{\mathrm{R}}_t$を$t:(1-t)$に内分する点をそれぞれ${\mathrm{S}}_t\text{，}$${\mathrm{T}}_t$とする．さらに，線分${\mathrm{S}}_t{\mathrm{T}}_t$を$t:(1-t)$に内分する点を${\mathrm{U}}_t$とする．また，点$\mathrm{A}$を${\mathrm{U}}_0\text{，}$点$\mathrm{D}$を${\mathrm{U}}_1$とする．

(1)　点${\mathrm{U}}_t$の座標を求めよ．

(2)　$t$が$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くときに点${\mathrm{U}}_t$が描く曲線と，線分$\mathrm{AD}$で囲まれた部分の面積を求めよ．

(3)　$a$を$0<a<1$を満たす実数とする．$t$が$0\leqq t\leqq a$の範囲を動くときに点${\mathrm{U}}_t$が描く曲線の長さを，$a$の多項式の形で求めよ．

【２】(1)　$x>0$のとき，$\log x\leqq x-1$を示せ．

(2)　次の極限を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }n{\displaystyle {\int }_1^2}\log \left({\displaystyle \frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2}}\right)\mathit{dx}$

【３】　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{\angle ABC}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\text{，}$$\mathrm{AB}=a\text{，}$$\mathrm{BC}=b\text{，}$$a\leqq b$とする．次の条件を満たす長方形$\mathrm{EFGH}$を考え，その面積を$S$とする．

条件：点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$はそれぞれ辺$\mathrm{EF}\text{，}$$\mathrm{FG}\text{，}$$\mathrm{GH}\text{，}$$\mathrm{HE}$上にある．

ただし，辺はその両端の点も含むものとする．

(1)　$\mathrm{\angle BCG}=\theta$とするとき，$S$を$a\text{，}$$b\text{，}$$\theta$を用いて表せ．

(2)　$S$のとりうる値の最大値を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

【４】　この問いでは，$0$以上の整数の$2$乗になる数を平方数と呼ぶ．$a$を正の整数とし，$f_a(x)=x^2+x-a$とおく．

(1)　$n$を正の整数とする．$f_a(n)$が平方数ならば，$n\leqq a$であることを示せ．

(2)　$f_a(n)$が平方数となる正の整数$n$の個数を$N_a$とおく．次の条件(ⅰ)，(ⅱ)が同値であることを示せ．

(ⅰ)　$N_a=1$である．

(ⅱ)　$4a+1$は素数である．

【５】　$n$を$2$以上の整数とする．$1$から$n$までの数字が書かれた札が各$1$枚ずつ合計$n$枚あり，横一列におかれている．$1$以上$(n-1)$以下の整数に対して，次の操作$({\mathrm{T}}_i)$を考える．

$({\mathrm{T}}_i)$　左から$i$番目の札の数字が，左から$(i+1)$番目の札の数字よりも大きければ，これら$2$枚の札の位置を入れかえる．そうでなければ，札の位置をかえない．

　最初の状態において札の数字は左から$A_1\text{，}$$A_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$A_n$であったとする．この状態から$(n-1)$回の操作$({\mathrm{T}}_1)\text{，}$$({\mathrm{T}}_2)\text{，}$$\cdots \text{，}$$({\mathrm{T}}_{n-1})$を順に行った後，続けて$(n-1)$回の操作$({\mathrm{T}}_{n-1})\text{，}$$\cdots \text{，}$$({\mathrm{T}}_2)\text{，}$$({\mathrm{T}}_1)$を順に行ったところ，札の数字は左から$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n$と小さい順に並んだ．以下の問いに答えよ．

(1)　$A_1$と$A_2$のうち少なくとも一方は$2$以下であることを示せ．

(2)　最初の状態としてありうる札の数字の並び方${\mathrm{A}}_1\text{，}$$A_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$A_n$の総数を$c_n$とする．$n$が$4$以上の整数であるとき，$c_n$を$c_{n-1}$と$c_{n-2}$を用いて表せ．

【６】　複素数平面上の点${\displaystyle \frac{1}{2}}$を中心とする半径${\displaystyle \frac{1}{2}}$の円の周から原点を除いた曲線を$C$とする．

(1)　曲線$C$上の複素数$z$に対し，${\displaystyle \frac{1}{z}}$の実部は$1$であることを示せ．

(2)　$\alpha \text{，}$$\beta$を曲線$C$上の相異なる複素数とするとき，${\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^2}}+{\displaystyle \frac{1}{{\beta }^2}}$がとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ．

(3)　$\gamma$を(2)で求めた範囲に属さない複素数とするとき，${\displaystyle \frac{1}{\gamma }}$の実部がとりうる値の最大値と最小値を求めよ．

【１】　$a$を正の実数とする．座標平面において，放物線$C\text{：}y=x^2$上の点$\mathrm{P}(a,a^2)$における$C$の接線と直交し，$\mathrm{P}$を通る直線を$l$とおく．$l$と$C$の交点のうち，$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とおく．

(1)　$\mathrm{Q}$の$x$座標を求めよ．

　$\mathrm{Q}$における$C$の接線と直交し，$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とおく．$m$と$C$の交点のうち，$\mathrm{Q}$と異なる点を$\mathrm{R}$とおく．

(2)　$a$がすべての正の実数を動くとき，$\mathrm{R}$の$x$座標の最小値を求めよ．

【２】　平面上で$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=1$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$を考える．正の実数$r$に対し，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$それぞれを中心とする半径$r$の円$3$つを合わせた領域を$D_r$とする．ただし，この問いでは，三角形と円は周とその内部からなるものとする．辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{BC}$がすべて$D_r$に含まれるような最小の$r$を$s\text{，}$三角形$\mathrm{ABC}$が$D_r$に含まれるような最小の$r$を$t$と表す．

(1)　$\mathrm{\angle BAC}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，$s$と$t$を求めよ．

(2)　$\mathrm{\angle BAC}={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$のとき，$s$と$t$を求めよ．

(3)　$0<\theta <\pi$を満たす$\theta$に対して，$\mathrm{\angle BAC}=\theta$のとき，$s$と$t$を$\theta$を用いて表せ．

【３】　白玉$2$個が横に並んでいる．投げたとき表と裏のでる確率がそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$のコインを用いて，次の手順(＊)をくり返し，白玉または黒玉を横一列に並べていく．

手順(＊)　コインを投げ，表がでたら白玉，裏がでたら黒玉を，それまでに並べられている一番右にある玉の右隣におく．そして，新しくおいた玉の色がその$1$つ左の玉の色と異なり，かつ$2$つ左の玉の色と一致するときには，新しくおいた玉の$1$つ左の玉を新しくおいた玉と同じ色の玉にとりかえる．

例えば，手順(＊)を$2$回行いコインが裏，表の順にでた場合には，白玉が$4$つ並ぶ．正の整数$n$に対して，手順(＊)を$n$回行った時点での$(n+2)$個の玉の並び方を考える．

(1)　$n=3$のとき，右から$2$番目の玉が白玉である確率を求めよ．

(2)　$n$を正の整数とする．右から$2$番目の玉が白玉である確率を求めよ．

(3)　$n$を正の整数とする．右から$1$番目と$2$番目の玉がともに白玉である確率を求めよ．

【４】　$a$を実数とする．座標平面において，次の連立不等式の表す領域の面積を$S(a)$とする．

$\{\begin{array}{l}y\leqq -{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+2\\ y=|x^2+a|\\ -1\leqq x\leqq 1\end{array}$

$a$が$-2\leqq a<2$の範囲を動くとき，$S(a)$の最大値を求めよ．