2025　千葉大学　先進科学プログラム方式MathJax

【１】　以下の$x$についての方程式を解きなさい．

(1)　$x^3-3x^2-3x+1=0$

【１】　以下の$x$についての方程式を解きなさい．

(2)　$\sin x+\sqrt{3}\cos x=1$$\text{（}0\leqq x<2\pi \text{）}$

【１】　以下の$x$についての方程式を解きなさい．

(3)　${\log }_{\frac{1}{2}}(x-2)+{\log }_{\frac{1}{2}}(x-9)=-3$

【２】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$\{\begin{array}{l}{a}_1=4\\ a_{n+1}=2a_n+3\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．

【３】　$4$点$\mathrm{A}(7,2,-3)\text{，}$$\mathrm{B}(0,3,2)\text{，}$$\mathrm{C}(4,1,8)\text{，}$$\mathrm{D}(2,-3,6)$を頂点とする四面体$\mathrm{ABCD}$がある．

(1)　$\mathrm{\angle ABC}\text{，}$$\mathrm{\angle ABD}$の大きさをそれぞれ求めなさい．

(2)　四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めなさい．

【４】　$\alpha =1-i\text{，}$$\beta =-1-3i\text{，}$$\gamma =2\sqrt{3}-1-(3+2\sqrt{3})i$とする．複素数平面上の$3$点，$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )\text{，}$$\mathrm{C}(\gamma )$について，三角形$\mathrm{ABC}$の$3$つの角のうち，$\mathrm{\angle BAC}$の大きさを求めなさい．

【５】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$人が各々$10$本のくじの入った袋を持っている．$\mathrm{A}$が持っている袋には，あたりが$1$本，はずれが$9$本，$\mathrm{B}$が持っている袋には，あたりが$2$本，はずれが$8$本入っている．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$が勝負のつくまでじゃんけんをして，勝ったほうが持っている袋からくじを$1$本引くことにする．

(1)　あたりが出る確率を求めなさい．

(2)　あたりが出た場合，$\mathrm{B}$の袋からくじを引いた確率を求めなさい．

【６】　関数$f(x)$は

${\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\mathit{dt}$$={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4+a{x}^3$$+b{x}^2+c$

を満たし，$x=-2$で極大値，$x=0$で極小値をとる．

(1)　定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値をそれぞれ求めなさい．

(2)　点$\mathrm{D}(1,d)$を通り，曲線$y=f(x)$に$3$本の接線が引けるような定数$d$の範囲を求めなさい．

【７】　$a\text{，}$$b$を$0$でない定数として，

$f(x)=e^{ax}\sin bx$

とする．このとき，

(1)　$f(x)$の第$1$次導関数$f^{\prime }(x)$を求めなさい．

(2)　$f(x)$の不定積分$F(x)$を求めなさい．