2025　千葉大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　${12}^{77}$の桁数および最高位の数字を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　$a$を実数とする．方程式

$x^3-3ax+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}=0$

が虚数解を持つ$a$の範囲を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　$1$個のさいころを$4$回投げるとき，出る目の総和が$21$以上になる確率を求めよ．

(2)　$1$個のさいころを$5$回投げるとき，出る目の総和が$10$以上になる確率を求めよ．

【３】　座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(0,2)\text{，}$$\mathrm{B}(-\sqrt{3},-1)\text{，}$$\mathrm{C}(\sqrt{3},-1)$があり，三角形$\mathrm{ABC}$の内接円上に点$\mathrm{P}$がある．また，$2$点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$を

$\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PO}}=\overrightarrow{\mathrm{CE}}$

となるようにとる．ここで$\mathrm{O}$は原点$(0,0)$である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　内積の値$\overrightarrow{\mathrm{PD}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PE}}$が点$\mathrm{P}$の位置によらず一定であることを示し，その値を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{DE}$の中点を$\mathrm{M}$とする．点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{ABC}$の内接円上を$1$周するとき，点$\mathrm{M}$の軌跡を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$を，

$a_1=10\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{2}{3}}{a}_n+{\displaystyle \frac{9}{a_n^2}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　すべての自然数$n$に対して$a_n>3$が成り立つことを示せ．

(2)　すべての自然数$n$に対して$a_{n+1}<a_n$が成り立つことを示せ．

(3)　$2$以上のすべての自然数$n$に対して

$a_n-3<7\cdot {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{n-1}$

が成り立つことを示せ．

【５】　さいころを投げて座標平面上の点$\mathrm{P}$を動かす試行を繰り返す．最初の点$\mathrm{P}$の位置は原点であるとする．$1$回の試行では$1$個のさいころを投げて，出た目に応じて以下の規則により点$\mathrm{P}$を動かす．

・$1$または$2$が出れば，点$\mathrm{P}$を$x$軸方向に$+1$だけ動かす．

・$3$または$4$が出れば，点$\mathrm{P}$を$y$軸方向に$+1$だけ動かす．

・$5$または$6$が出れば，点$\mathrm{P}$を$y$軸方向に$-1$だけ動かす．

$n$回目の試行直後の点$\mathrm{P}$の座標を$(x_n,y_n)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$x_6=y_6=0$となる確率を求めよ．

(2)　$y_6=0$となる確率を求めよ．

(3)　$y_1\text{，}$$\cdots \text{，}$$y_5$がすべて$0$以上で，かつ$y_6=0$となる確率を求めよ．

【６】　座標平面上に，曲線$D\text{：}y=\log x$$\text{（}x>0\text{）}$とその上の点$\mathrm{A}(a,\log a)$がある．半径$r$の円$C$は$y$軸に接し，かつ，円$C$は曲線$D$と点$\mathrm{A}$で同一の接線を持つ．さらに，$r<a$が成り立つとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$r$を$a$を用いて表せ．

(2)　$r>{\displaystyle \frac{a}{2}}$となることを示せ．

(3)　$a=\sqrt{3}$のとき，$x$軸，$y$軸，円$C$の下半分と曲線$D$によって囲まれる領域の面積を求めよ．

【７】　すべての実数$x$に対して定義された関数

$f(x)={\displaystyle \frac{16-x^2}{\sqrt{x^4-2x^2+16}}}$

について，以下の問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)=0$を満たす実数$x$をすべて求めよ．

(2)　$f^{″}(x)=0$を満たす実数$x$をすべて求めよ．

(3)　$y=f(x)$の凹凸，変曲点，ならびに漸近線を調べて，そのグラフの概形を描け．

(4)　点$(0,t)$から曲線$y=f(x)$に接線が引けるような実数$t$の範囲を求めよ．

【８】　正方形に対して，その$2$本の対角線の交点を，その正方形の中心と呼ぶ．また，すべての内角が$180\mathrm{°}$未満の四角形を凸四角形と呼ぶ．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　複素数平面上に正方形$\mathrm{PQRS}$があり，その中心$\mathrm{T}$から見て$4$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}$は反時計回りに並んでいる．頂点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の座標を表す複素数を$p\text{，}$$q$とするとき，中心$\mathrm{T}$の座標を表す複素数$t$を$p\text{，}$$q$を用いて表せ．

(2)　複素数平面上に凸四角形$\mathrm{ABCD}$がある．頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$の座標を表す複素数をそれぞれ$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma \text{，}$$\delta$とする．四角形$\mathrm{ABCD}$の外側に線分$\mathrm{AB}$を$1$辺とする正方形を描きその中心を$\mathrm{X}$とする．同様に，$\mathrm{ABCD}$の外側に線分$\mathrm{BC}$を$1$辺とする正方形を描きその中心を$\mathrm{Y}$とし，$\mathrm{ABCD}$の外側に線分$\mathrm{CD}$を$1$辺とする正方形を描きその中心を$\mathrm{Z}$とし，$\mathrm{ABCD}$の外側に線分$\mathrm{DA}$を$1$辺とする正方形を描きその中心を$\mathrm{W}$とする．このとき，$\mathrm{XZ}=\mathrm{YW}$であり，かつ，直線$\mathrm{XZ}$と直線$\mathrm{YW}$が直交することを証明せよ．

(3)　(2)において，線分$\mathrm{XZ}$と線分$\mathrm{YW}$がそれらの中点で交わるとき，四角形$\mathrm{ABCD}$はどのような四角形になるか，理由とともに述べよ．

【９】　関数$f(x)$は$3$次導関数$f^{‴}(x)$を持ち，$f^{\prime }(0)=0$であり，すべての実数$x$に対して$f^{″}(x)>0\text{，}$$f^{‴}(x)<0$を満たすものとする．また，$0<a<b$とし，

$F={\displaystyle \frac{f(b)+f(a)}{2}}(b-a)$$-{\displaystyle {\int }_a^b}f(x)\mathit{dx}$

とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$F>0$を示せ．

(2)　$F<{\displaystyle \frac{1}{2}}\{f(a)-2f\left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)+f(b)\}(b-a)$を示せ．

(3)　$f(a)$$-2f\left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)$$+f(b)$$<{\displaystyle \frac{b-a}{2}}{f}^{\prime }(b)$を示せ．

(4)　$F<{\displaystyle \frac{{(b-a)}^3}{4}}{f}^{″}(a)$を示せ．

志望別問題選択一覧

数学I,II,A,B,C

　国際教養,文(行動科学コース),法政経,教育(小学,中学国語社会理科技術,小中専門教科,英語,特別支援,乳幼児),園芸(食料資源経済学科)学部,先進科学プログラム(化学,生物,植物生命科,人間科学)

　　【１】,【２】,【３】

数学I,II,III,A,B,C

教育(中学数学)学部

　【３】,【４】,【５】,【６】,【７】,【８】

理(物理,化学,生物,地球科学科),工,データサイエンス,園芸(園芸,応用生命化,緑地環境学科),薬学部,先進科学プログラム(物理,工学,データサイエンス)

　【４】,【５】,【６】,【７】,【８】

理(数学・情報数理学科)学部

【４】,【５】, 【６】,【７】,【８】,【９】

医学部

【５】,【６】,【７】,【８】,【９】