2025　埼玉大学　後期（理,工学部）MathJax

$\mathrm{A}$グループの選手は$\mathrm{B}$グループの選手に確率${\displaystyle \frac{2}{3}}$で勝利し，同グループの選手同士はそれぞれ確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で勝利する．ただし，試合には引き分けはないものとする．優勝者が$\mathrm{A}$グループに属する確率を$p_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$p_1\text{，}$$p_2$を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$のとき，$p_n$を$p_{n-1}$の式で表せ．

(3)　$p_n$を求めよ．

$C\text{：}{x}^2+{(y-a)}^2=r^2$

は$y\geqq x^2$の範囲にあり$y=x^2$に接している．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}$と$y=x^2$上の点$(t,t^2)$の距離の$2$乗を$f(t)$とおく．$f(t)$の最小値と$f(t)$が最小値をとるときの$t$を求めよ．

(2)　円$C$が$y=x^2$と異なる$2$点で接するときの$a$の範囲を求めよ．また，そのときの半径$r$と接点の座標をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(3)　(2)で求めた異なる接点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{\angle PAQ}={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$となるとする．

(ア)　$a$と$r$を求めよ．

(イ)　円$C$に沿って$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$を結ぶ短い方の円弧と$y=x^2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$f(a)+f(b)+f(c)=6$

$f^{\prime }(a)+f^{\prime }(b)+f^{\prime }(c)=17$

$f^{″}(a)+f^{″}(b)+f^{″}(c)=84$

を満たすとする．$p=f(a)\text{，}$$q=f(b)\text{，}$$r=f(c)$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)$と$f^{″}(x)$をそれぞれ$f(x)$の式で表せ．

(2)　$p^2+q^2+r^2\text{，}$$p^3+q^3+r^3\text{，}$$pqr$を求めよ．

(3)　$p\text{，}$$q\text{，}$$r$を求めよ．

(4)　$a+b+c$を求めよ．

(1)　$f(1)\text{，}$$f(e)$を求めよ．

(2)　$g(x)=x-f(x)$の最大値を求めよ．また，$g(x)>0$となるような$x$の範囲を求めよ．

(3)　$xy$平面において，連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\geqq f(x)\\ x\geqq f(y)\end{array}$

で定まる図形$D$の面積$S$を求めよ．

(4)　$h(x)=x{(\log x)}^2$$-2x\log x+2x$を微分せよ．

(5)　(3)で定めた図形$D$を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．