2025　埼玉大学　前期(理(数),工学部)MathJax

${\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{OD}}\right|}^2={\displaystyle \frac{16}{9}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}^2$

$\overrightarrow{\mathrm{OE}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=0$

次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{a}\right|=k$とするとき，$\left|\overrightarrow{b}\right|$と$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$をそれぞれ$k$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{\angle COE}$を求めよ．

$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0\text{，}$$x+y\leqq n$

の表す領域に含まれる格子点全体の集合を$\mathrm{S}$とする．ただし，格子点とは$x$座標，$y$座標がどちらも整数である点のことをいう．次の問いに答えよ．

(1)　$4$頂点が$\mathrm{S}$に属する長方形で，$x$軸と平行な辺をもち，$1$つの頂点が$(1,n-1)$にあるものの個数を求めよ．

(2)　$k$を$1\leqq k\leqq n-1$を満たす整数とする．$4$頂点が$\mathrm{S}$に属する長方形で，$x$軸と平行な辺をもち，$1$つの頂点が$(k,n-k)$にあるものの個数を求めよ．

(3)　$4$頂点が$\mathrm{S}$に属する長方形で，$x$軸と平行な辺をもち，$1$つの頂点が直線$x+y=n$上にあるものの個数を求めよ．

(4)　$4$頂点が$\mathrm{S}$に属する長方形で，$x$軸と平行な辺をもつものの個数を求めよ．

$f_n(x)=x^{n+1}+n{x}^n-1$

とおく．次の問いに答えよ．必要なら，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log n}{n}}=0$を用いてよい．

(1)　方程式$f_1(x)=0$の解を求めよ．

(2)　方程式$f_2(x)=0$の解を求めよ．

(3)　方程式$f_n(x)=0$は，$0<x<1$の範囲に解をもつことを示せ．また，$0<x<1$の範囲にある解はただ$1$つであることを示せ．

(4)　$n\geqq 2$のとき，$f_n(n^{-\frac{2}{n}})$の正負を判定せよ．

(5)　(3)の解を$x_n$とおく．$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$を求めよ．

$C\text{：}y=f(x)$$\text{（}0\leqq x\leqq 4\text{）}$

を考える．原点を通る直線$l$が曲線$C$と原点と異なる点$\mathrm{P}$で接しているとする．次の問いに答えよ．

(1)　$\underset{x\to +0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$と$\underset{x\to 4-0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の最大値を求めよ．また，$f(x)$が最大値をとるときの$x$の値を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$の座標と$l$の方程式を求めよ．

(4)　$x=2-2\sin \theta$とおくことにより，${\displaystyle {\int }_0^2}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(5)　$C$と$l$で囲まれた図形の面積を求めよ．