2024　埼玉大学　前期(経済，教育学部)MathJaxMathJax

【１】　$a$は実数の定数であるとする．この場合に，以下の問に答えなさい．

(1)　$t$を$\theta$を用いて$t=\sin \theta +\cos \theta$によって定める．$-2a\sin \theta$$+\sin 2\theta$$-2a\cos \theta$を$t$を用いて表しなさい．

(2)　関数$g(\theta )$を$g(\theta )$$=\sin \theta$$+\cos \theta$によって定める．$\theta$が$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$という範囲の値をとるとき，$g(\theta )$がとる値の範囲を求めなさい．

(3)　関数$f(\theta )$を$f(\theta )$$=-2a\sin \theta$$+\sin 2\theta$$-2a\cos \theta$によって定める．$\theta$が$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$という範囲の値をとるとき，$f(\theta )$がとる値の範囲を求めなさい．

【２】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$は，それぞれの初項が$a_1=2\text{，}$$b_1=1$であり，次の連立された式

$\{\begin{array}{ll}{a}_{n+1}=3a_n+2b_n& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{），}\\ b_{n+1}=4a_n+b_n& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

で定められるとする．この場合に以下の問に答えなさい．

(1)　等式$a_{n+1}+p{b}_{n+1}=q(a_n+p{b}_n)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$が成り立つような実数の定数$p\text{，}$$q$の組をすべて求めなさい．

(2)　数列$\{a_n)\text{，}$$\{b_n\}$の一般項を求めなさい．

【３】　$2$種類の文字$a\text{，}$$b$から重複を許して$12$個選び，$12$個の文字を左から右ヘー列に並べて置く．ただし，選ばない文字があってもよいものとする．この場合に，以下の問に答えなさい．

(1)　並べ方の総数を求めなさい．

(2)　同じ文字がとなり合わないという条件を満足するときの並べ方の数を求めなさい．

(3)　左から右ヘー列に並べた並べ方（元の並べ方という）を作っておいて，新しく，右から左ヘー列に並べ直した並べ方（右から並べ直した並べ方という）を作る．すなわち，まず元の並べ方の左から$1$番目の文字を右から$1$番目に置き，次に元の並べ方の左から$2$番目の文字を右から$2$番目に置くというように，元の並べ方のそれぞれの文字について左から何番目にあるかを数えた数と同じ数だけ右から数えて進んだ位置に置くという操作を，元の並べ方の左から$1$番目の文字から左から$12$番目の文字まで繰り返し行って，元の並べ方から，新しく，右から並べ直した並べ方を作る．元の並べ方と右から並べ直した並べ方が同ーであるという条件を満足するときの元の並べ方の数を求めなさい．

【４】　関数$f(x)$は$2$次関数であり，関数$g(x)$は$1$次関数であり，$c$は実数の定数であるとする．次の連立された等式

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}\{{\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\mathit{dt}+{\displaystyle {\int }_0^x}g(t)\mathit{dt}\}=3x^2-3x-3\text{，}\\ {\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}\{{\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\mathit{dt}-{\displaystyle {\int }_0^x}g(t)\mathit{dt}\}=c{x}^2-7cx+5\end{array}$

が成り立つ場合に，$f(x)\text{，}$$g(x)\text{，}$$c$を求めなさい．