2025　群馬大学　推薦情報学部小論文MathJax

【１】　次の文章を読んで，問1-1，問1-2，問1-3に答えよ．

　$1$から$10$の数字が$1$つずつ書かれた$10$枚のカードが，数字が見えない状態で箱の中に入っている．異なるカードには異なる数字が書かれているものとする．箱からカードを取り出すときには，箱の中にあるいずれのカードも同じ確率で取り出されるものとする．

問1-1　箱の中から$2$枚のカードを同時に取り出したとき，両方とも偶数が書かれている確率を求めよ．答えの根拠も述べること．

問1-2　箱の中から$3$枚のカードを順に取り出したとき，$1$番目のカードの数字より$2$枚目のカードの数字が大きく，かつ，$2$枚目のカードの数字より$3$枚目のカードの数字が大きくなる確率を求めよ．一度取り出したカードは箱へは戻さないものとする．答えの根拠も述べること．

問1-3　同じ箱を使って以下のゲームを考える．

　箱の中から，まず$1$枚のカードを取り出す．このカードの数字を見た時点で，次に取り出すカードの数字が，$1$枚目の数字より大きい（「大」）か小さい（「小」）かを予想する．その後，$1$枚目のカードを箱には戻さずに$2$枚目のカードを取り出し，その数字が予想通りで「あれば「勝ち」とし，そうでなければ「負け」とする．

　例えば，$1$枚目のカードが$\text{“}3\text{”}$で「大」と予想した場合には，$2$枚目のカードが$\text{“}1\text{”}$または$\text{“}2\text{”}$のときには「負け」となり，それ以外のときには「勝ち」となる．

　いま，$k$を$0\leqq k\leqq 10$を満たす整数とし，以下の戦略$\mathrm{A}$を考えた．

戦略$\mathrm{A}$：$1$枚目のカードの数字が$k$以下であれば「大」と予想し，$k+1$以上であれば「小」と予想する．

このとき，以下の(a)，(b)，(c)に答えよ．

(a)　戦略$\mathrm{A}$にしたがったときゲームに勝つ確率を，$k$を用いた式で表せ．導出の過程も記すこと．

(b)　戦略$\mathrm{A}$を用いて，ゲームに勝つ確率を最大にするには，$k$の値をいくつに設定すれば良いか．また，このときの勝率を求めよ．答えの根拠も記すこと．

(c)　戦略の幅をより広げて，$1$枚目の数字$x$によって自由に予想を決めることができるものとする．戦略は，$x=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$10$のそれぞれの場合に対する予想を，$x$の値が小さい方から順に記した，長さ$10$の「大」，または，「小」からなる列で表すものとする．例えば，(大,大,大,小,小,大,小,小,小,小)と表される戦略では，$1$枚目のカードの数字が$\text{“}1\text{”}$から$\text{“}3\text{”}$の場合と$\text{“}6\text{”}$の場合に「大」を予想し，それ以外の場合には「小」を予想する．このような戦略を自由に決めて良いとしたとき，上問(b)で求めた勝率を超える戦略は存在するか．存在する場合には，その戦略を記し，このときの勝率を求めよ．存在しない場合には，その理由を説明せよ．

【２】　次の文章を読んで，問2-1，問2-2，問2-3，問2-4に答えよ．

　雨を，水平な平面で受けとめて，雨粒の落ちた位置を調べることとした．このとき，雨を受ける平面上に座標を設定し，雨粒の大きさを無視して，その中心位置の座標$(x,y)$で位置を表現することとする．$x$座標は$-1\leqq x<1\text{，}$$y$座標は$-1\leqq y<1$の範囲に落ちた雨粒のみを考慮して以下の検討をおこなった．なお，雨粒はこの平面上の全ての場所に同程度に，ランダムに落ちることが期待されるとしてよい．

問2-1　考慮した雨粒の落ちた位置$(x,y)$が第$1$象限にある確率を求めよ．ただし，第$1$象限にある条件は$x\geqq 0$かつ$y\geqq 0$とする．答えを導いた考え方も記すこと．

問2-2　一粒の雨の落ちた位置$(x,y)$と原点$(0,0)$の距離を求め，$(x,y)$が原点$(0,0)$を中心とする半径$1$の円の内部にある条件を求めよ．答えの導出過程も記すこと．

問2-3　考慮した雨粒の落ちた位置$(x,y)$が，原点$(0,0)$を中心とする半径$1$の円の内部にある確率$P$を求めよ．ただし，円周率を$\pi$とする．答えの導出根拠も記すこと．

問2-4　考慮する雨粒が$n$粒になったときに，それぞれの落ちた位置$(x,y)$を調べて，問2-2の条件を満たすかを調べた．その結果，$(x,y)$が原点$(0,0)$を中心とする半径$1$の円の内部にあった回数が$m$回だったとする．円周率の具体的な数値を知らないとしたとき，前述の試行結果から円周率$\pi$の数値を見積もる方法を考えよ．答えを導いた考え方も記すこと．