2025　群馬大学　推薦共同教育学部小論文MathJax

【１】　$2$辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{CD}$の長さが$3$であり，$2$辺$\mathrm{AD}\text{，}$$\mathrm{BC}$の長さが$1$である長方形$\mathrm{ABCD}$を考える．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　線分$\mathrm{MC}$と線分$\mathrm{DB}$の交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，$\mathrm{▵DEC}$と$\mathrm{▵BEM}$の面積比を求め，その根拠も述べよ．

(2)　点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{CD}$上にあり，$2$点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$とは異なるとする．線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{DM}$の交点を$\mathrm{F}\text{，}$線分$\mathrm{BP}$と線分$\mathrm{CM}$の交点を$\mathrm{G}$とする．点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{CD}$上を動くとき，四角形$\mathrm{PFMG}$の面積は，点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{CD}$の中点であるときに最大であることを示せ．

【２】　$i$を虚数単位とする．複素数$z$は$z(1+i)+\overline{z(1+i)}=2$を満たすとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$z$の実部から$z$の虚部を引いた値は$1$であることを示せ．

(2)　$z\ne 1$とし，$z-1$の偏角を$0$以上$2\pi$未満の範囲で考えるとき，$z-1$の偏角は${\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{，}$${\displaystyle \frac{5\pi }{4}}$のいずれかであることを示せ．

(3)　$z\ne -i$のとき，${\displaystyle \frac{z-1}{z+i}}$は実数であることを示せ．