2025　群馬大学　後期情報学部理系小論文MathJax

【１】　次の文章を読んで，問1‒1，問1‒2，問1‒3，問1‒4，問1‒5に答えよ．

　整数$a$と正の整数$b$に対して，$a$を$b$で割ったときの商を$q\text{，}$余りを$r$$\text{（}0\leqq r<b\text{）}$とする．すなわち$a=bq+r$が成り立つ．また，$a$を$b$で割った余りを記号$\%$を用いて$a\%b$と表記する．すなわち$a\%b=r$が成り立つ．

問1‒1　$(17\times 19)\%31$を求めよ．

問1‒2　任意の整数$t$について，$a\%b=(a+tb)\%b$となることを示せ．

問1‒3　整数$c$について，$ac\%b$$=(a\%b)(c\%b)\%b$となることを示せ．

問1‒4　$a=2147483657\text{，}$$c=2147483646\text{，}$$b=2147483647$$\text{（}=2^{31}-1\text{）}$としたとき，$ac\%b$を求めよ．求め方も記すこと．

問1‒5　$n$を$2$以上の整数，$b=2^n-1\text{，}$そして$a\text{，}$$c$を$b$未満の正の整数とする．また，$ac$を$2^n$で割った商を$d\text{，}$余りを$e$とする．すなわち$ac=d{2}^n+e$が成り立つ．このとき，$ac\%b=d+e$または$ac\%b=d+e-b$となることを示せ．

【２】　次の文章を読んで，問2‒1，問2‒2，問2‒3，問2‒4，問2‒5に答えよ．

　$\mathrm{A}$さんはコイン投げのゲームをすることにした．このゲームの$1$回の試行では，まず，$\stackrel{\text{か}}{\text{賭}}$けるメダルの数を決めてそれを支払う．そのあとコインの表が出れば賭けた数の二倍のメダルが返ってきて，賭けた分だけ$\stackrel{\text{もう}}{\text{儲}}$けられる．裏が出れば賭けたメダルは返ってこず，賭けた分だけ損をすることとなる．このときの儲けはマイナスとする．なお，投げたコインは必ず表か裏となり，それぞれの確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．また，このコイン投げのゲームは，引続き何回でも参加できることになっている．以下の問題に答えよ．なお，解答にあたっては，答を導く過程を記述して説明せよ．

問2‒1　このコイン投げのゲーム$1$回に，$1$メダルを賭けたときの儲けの期待値はいくつか．

問2‒2　このコイン投げのゲームに$1$回目は$1$メダル，$2$回目は$2$メダルを賭けて参加したときの儲けの期待値はいくつか．

　$\mathrm{A}$さんはこのゲームに何度か参加することで必ず$1$メダルを儲ける次の方法を思いついた．

問2‒3　上記【必勝法】で$k$回目のゲームに参加することになる確率$p_k$とその回の賭けメダル数$X_k$を求めよ．

問2‒4　上記【必勝法】で$k$回目のゲームに参加するとき，$k$回目を含む$k$回目までの賭けメダルの合計$Y_k$を求めよ．また，$k$回目で勝って，一連のゲームを終了したときに，$k$回目までの通算の儲けが$1$メダルとなることを示せ．

問2‒5　$\mathrm{A}$さんは，自分がこのゲームに投入できるメダル数が$1000$メダルであることから，上記【必勝法】が最後まで実施できない可能性があることに気が付いた．この所持メダル数でできるところまで【必勝法】を実施して，継続できなくなった場合には一連のゲームを終了するとした場合の儲けの期待値を求めよ．