2025　群馬大学　前期MathJax

【１】　$n$を自然数とする．整数の組$(x,y)$で表される座標平面上の点で，次の条件を満たすものの個数をそれぞれ求めよ．

(1)　$3$点$(0,0)\text{，}$$(n,0)\text{，}$$(0,2n)$を頂点とする三角形の辺上または内部にある．

(2)　連立不等式$\{\begin{array}{l}y\leqq n^2\\ y\geqq {\displaystyle \frac{x^2}{4}}\end{array}$で表される領域に含まれ，かつ$x\geqq 0$を満たす．

【２】　$a$を正の定数とする．以下の問に答えよ．

(1)　不等式$|-5x+3|\leqq 2a$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．

(2)　(1)において$a=4$のとき，すなわち，不等式$|-5x+3|\leqq 8$を満たす整数$x$の個数を求めよ．

(3)　不等式$|-5x+3|\leqq 2a$を満たす整数$x$がちょうど$6$個存在するような$a$の値の範囲を求めよ．

《注》教育学部の(2)の末尾は「調べよ．」

【３】　次の定積分を求めよ．

$\text{(1) }{\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x+1}}}\mathit{dx}$$\text{(2) }{\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x^3}{\sqrt{2-x^2}}}\mathit{dx}$$\text{(3) }{\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x^2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}}\mathit{dx}$

【４】　座標空間内の$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の位置ベクトル$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$は互いに垂直で，$\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|=t$$\text{（}t>0\text{）}$とする．$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)　原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．点$\mathrm{H}$が線分$\mathrm{CM}$を内分する点であることを示し，$\mathrm{CH}:\mathrm{HM}$を$t$を用いて表せ．

【５】　以下の問に答えよ．

(1)　$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x^2}}$の増減を調べて極値を求めよ．

(2)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}\mathit{dx}$を求めよ．

(3)　$k$は定数とする．$y={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$が表す曲線$C$と$y=kx$が表す直線$l$が$y>0$の範囲でただ$1$つの共有点をもつとき，曲線$C\text{，}$直線$l$と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$は次の条件によって定められている．

$a_1={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\text{，}$$a_{n+1}=\sqrt{{\displaystyle \frac{a_n+1}{2}}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

以下の問に答えよ．

(1)　すべての$n$について，$0<a_n<1$となることを示せ．

(2)　すべての$n$について，$a_n<a_{n+1}$となることを示せ．

(3)　$a_n=\cos {\theta }_n$となる${\theta }_n$$(0<{\theta }_n<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を求めよ．

【２】　自然数$n$に対して，$a(n)=n^2+2\text{，}$$b(n)=n^3$$+45n^2$$+2n+765$とおき，$a(n)$と$b(n)$の最大公約数を$d(n)$とおく．以下の問に答えよ．

(1)　$a(n)$が$5$の倍数でないことを示せ．

(2)　$n$が自然数全体を動くときの$d(n)$の最大値$d_0$を求めよ．また，$d(n)=d_0$となる自然数$n$のなかで最小のものを求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}a(n)$$+2{\log }_{9}b(n)$$+(m-1){\log }_{\frac{1}{3}}5$が自然数となる自然数の組$(m,n)$がただ$1$つ存在することを示せ．

【４】　$0$でない複素数$\alpha$と複素数平面上で$\alpha$を表す点$\mathrm{A}(\alpha )$について，次の問に答えよ．

(1)　複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}({\alpha }^2)\text{，}$$\mathrm{C}(-\alpha )$を頂点とする$\mathrm{▵ABC}$が正三角形になるような$\alpha$を求めよ．

(2)　複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}({\alpha }^2)\text{，}$$\mathrm{C}(-\alpha )$が一直線上にあるならば$\alpha$は実数であることを示せ．

(3)　複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(i{\alpha }^2)\text{，}$$\mathrm{C}\left({\displaystyle \frac{-1}{\alpha }}\right)$が一直線上にあるような$\mathrm{A}(\alpha )$の範囲を複素数平面上に図示せよ．ただし$i$は虚数単位とする．

【５】　$k$は定数とする．$y={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$が表す曲線$C$と$y=kx$が表す直線$l$が$y>0$の範囲でただ$1$つの共有点をもつとき，曲線$C\text{，}$直線$l$と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

【２】　以下の問に答えよ．

(1)　関数$y={\displaystyle \frac{\log x}{x^2}}$のグラフの概形をかけ．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$は用いてもよい．

(2)　$k$を定数とする．曲線$y={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$と傾き$k$の直線$y=kx$の共有点の個数を調べよ．

【３】　傾斜角一定のまっすぐな登り坂の先に塔が水平方向に対し垂直に立っている．坂の途中のある地点$\mathrm{A}$で塔の根元から頂上までの見上げる角度を測ると$30\mathrm{°}$であった．$\mathrm{A}$から塔に向かって登り坂を進み続け，途中で$2$度，塔の根元から頂上までの見上げる角度を測ると，$1$度目が$45\mathrm{°}\text{，}$$2$度目が$60\mathrm{°}$であった．以下の問に答えよ．ただし，目線の高さは考えないものとし，長さの単位は$\mathrm{m}$（メートル）を用いる．

(1)　$\mathrm{A}$の地点から$1$度目の観測点までの距離を$a\mathrm{m}\text{，}$$1$度目の観測点と$2$度目の観測点の距離を$b\mathrm{m}$とするとき，${\displaystyle \frac{b}{a}}$の値を求めよ．

(2)　$\mathrm{A}$の地点から$1$度目の観測点までの距離は$100(\sqrt{3}-1)\mathrm{m}$で$2$度目の観測地点から塔の根元までの距離は$25\sqrt{3}\mathrm{m}$であった．塔の高さは何$\mathrm{m}$か．また，この登り坂の傾斜角を$\theta$としたときの$\sin \theta$の値を求めよ．