2025　宇都宮大学　前期MathJax

【１】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1={\displaystyle \frac{3}{5}}\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{3a_n}{2a_n+1}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の問いに答えよ．

問１　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4\text{，}$$a_5$を求めよ．

問２　一般項$a_n$を推測して，その結果を数学的帰納法によって証明せよ．

問３　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$とするとき，$1-{\displaystyle \frac{2}{3^n}}<a_n<1$が成り立つことを証明せよ．

問4　$m\leqq a_1+a_2+a_3$$+\cdots +a_{2025}$を満たす最大の整数$m$を求めよ．

【２】　複素数平面上で$|z-3-3i|\leqq \left|z\right|$を満たす点$z$が存在する領域を$D_1$する．また，$z$が$D_1$を動くとき，$w=2+i+{\displaystyle \frac{6}{z}}$で表される点$w$が存在する領域を$D_2$とし，$D_1$と$D_2$の共通部分を$D$とする．次の問いに答えよ．

問１　$z_1={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}-{\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{4}}i$と定めるとき，$z_1$を極形式で表せ．ただし，偏角$\theta$は$0\leqq \theta <2\pi$とする．

問２　複素数平面上に$D_1$を図示せよ．

問３　複素数平面上に$D_2$を図示せよ．

問４　点$\mathrm{A}(\alpha )$が$D$を動くとき，$\tan (\arg \alpha )$のとりうる値の範囲を求めよ．ただし，$\arg \alpha$は$\alpha$の偏角を表す．

問５　$n$を自然数とする．問１の$z_1$に対し，点${(z_1)}^n$が$D$に含まれるような最小の$n$の値を求めよ．

【３】　$e$を自然対数の底とする．$x\geqq 0$で定義された関数$f(x)=e^{-x}|\sin x|$を考え，曲線$y=f(x)$と$x$軸との共有点の$x$座標を，小さい順に$t_0\text{，}$$t_1\text{，}$$t_2\text{，}$$\cdots$とする．ただし，$t_0=0$である．$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対して，$t_{n-1}\leqq x\leqq t_n$において，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　$f\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)\text{，}$$f(\pi )\text{，}$$f\left({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\right)$を求めよ．

問２　極限値$\underset{h\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(\pi +h)-f(\pi )}{h}}$および$\underset{h\to -0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(\pi +h)-f(\pi )}{h}}$を求めよ．また，関数$f(x)$が$x=\pi$で微分可能かどうかを判定せよ．

問３　$g(x)=e^{-x}(a\sin x+b\cos x)$とするとき，$g^{\prime }(x)=e^{-x}\sin x$が成り立つように定数$a\text{，}$$b$の値を定めよ．

問４　$S_1$を求めよ．

問５　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$を求めよ．

【４】　次の(A)，(B)に答えよ．

(A)　次の問いに答えよ．

問１　等式$a+b+c=20$を満たす負でない整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の組の総数を求めよ．

問２　等式$a+b+c=20$を満たす正の整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の組の総数を求めよ．

問３　不等式$10\leqq a+b+c\leqq 20$を満たす正の整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の組の総数を求めよ．

【４】　次の(A)，(B)に答えよ．

(B)　$a\text{，}$$s$を実数とする．初項$s\text{，}$公差$s$の等差数列を$\{x_n\}$とし，初項$as\text{，}$公差$as$の等差数列を$\{y_n\}$とする．次の問いに答えよ．

問４　数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ．

問５　$N$個の値$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_N$からなるデータの平均値と分散を求めよ．

問６　$2N$個の値$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$x_N\text{，}$$y_1\text{，}$$y_2\text{，}$$\cdots \text{，}$$y_N$からなるデータの平均値と分散を求めよ．