2025　筑波技術大学　前期MathJax

【１】　以下の各問いに答えなさい．

(1)　次の計算をしなさい．ただし，$i$は虚数単位とする．

${(3+2i)}^3$

【１】　以下の各問いに答えなさい．

(2)　$2$次方程式$x^2+ax$$+b=0$の解の$1$つが$\sqrt{3}+i$であった．このときの実数$a\text{，}$$b$の値をそれぞれ求めなさい．

【１】　以下の各問いに答えなさい．

(3)　関数$y=-3x^2$$+12x+12$のグラフを$x$軸方向に$a\text{，}$$y$軸方向に$b$だけ平行移動すると，関数$y=-3x^2-8$のグラフと重なった．このときの実数$a\text{，}$$b$の値をそれぞれ求めなさい．

【１】　以下の各問いに答えなさい．

(4)　次の方程式を解きなさい．

${\log }_{\frac{1}{2}}x+{\log }_{\frac{1}{2}}(x+2)=-3$

【１】　以下の各問いに答えなさい．

(5)　$\mathrm{T}$技大の$\mathrm{A}$さんが$2025$年$1$月に$20$回，電話リレーサービスを利用して電話をかけたときの$1$回ごとの通話時間は，以下の通りとなった．このとき，以下の各問いに答えなさい．

$\mathrm{A}$さんの$2025$年$1$月電話リレーサービス通話時間（単位:秒）

$60$,$113$,$120$,$123$,$127$,$131$,$138$,$140$,$146$,$150$,$153$,$159$,$160$,$162$,$170$,$170$,$174$,$176$,$240$,$255$

(ⅰ)　通話時間の中央値，第$1$四分位数，第$3$四分位数をそれぞれ求めなさい．

(ⅱ)　外れ値をすべて示しなさい．

《編注》通話時間は表形式だったが，レイアウトがくずれるため変更した

【２】　以下の各問いに答えなさい．

(1)　以下の$2$次方程式の$2$つの解を$p\text{，}$$q$とするとき，${\displaystyle \frac{1}{p}}+{\displaystyle \frac{1}{q}}$の値を求めなさい．

$x^2-6x+3=0$

【２】　以下の各問いに答えなさい．

(2)　$(x-2)(y-3)=6$を満たす正の整数$x\text{，}$$y$をそれぞれ求めなさい．

【２】　以下の各問いに答えなさい．

(3)　命題

$x$は$15$の倍数　ならば　$x$が$3$の倍数または$5$の倍数

の逆の命題を答え，その命題の真偽を答えなさい．

【２】　以下の各問いに答えなさい．

(4)　$3\cos \theta -3\sin (\pi -\theta )$$=a\sin (\theta +b)$が成り立つとき，実数$a\text{，}$$b$の値をそれぞれ求めなさい．ただし，$0<b<\pi$とする．

【２】　以下の各問いに答えなさい．

(5)　$840$個の栗と$400$個のみかんがあり，栗とみかんを一緒に袋詰めにして，余りがないようにできるだけたくさんの袋を作りたい．袋に入っている栗の数はどれも同じで，袋に入っているみかんの数はどれも同じとする．このとき，袋の数と，一つの袋に入っている栗・みかんの数をそれぞれ求めなさい．

【２】　以下の各問いに答えなさい．

(6)　下図は$y=a\sin (b\theta +c)+d$のグラフである．定数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$の値をそれぞれ求めなさい．

【３】　$\mathrm{T}$技大の近くの食堂で提供しているレギュラー定食は，下記の表から主菜・副菜・ごはん・汁物を$1$種類ずつ選択できる．

表レギュラー定食のメニューとカロリー

主菜	鮭の照り焼き	豚の生姜焼き	レバニラ炒め	チキン南蛮	／
	$200\mathrm{kcal}$	$250\mathrm{kcal}$	$150\mathrm{kcal}$	$400\mathrm{kcal}$
副菜	きんぴらごぼう	ほうれん草おひたし	ひややっこ	ポテトサラダ	コロッケ
	$70\mathrm{kcal}$	$20\mathrm{kcal}$	$75\mathrm{kcal}$	$100\mathrm{kcal}$	$150\mathrm{kcal}$
ごはん	白米	麦ごはん	玄米	／	／
	$220\mathrm{kcal}$	$200\mathrm{kcal}$	$180\mathrm{kcal}$
汁物	豚汁	茶碗蒸し	／	／	／
	$250\mathrm{kcal}$	$150\mathrm{kcal}$

　そのとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　レギュラー定食の組み合わせは何通りあるか答えなさい．

(2)　食堂の客がレギュラー定食のうちいずれか一つの組み合わせを選ぶ確率はすべて同一としたとき，客が豚の生姜焼きを含むレギュラー定食を注文する確率を求めなさい．

(3)　食堂に来た$2$人組が注文したレギュラー定食が主菜・副菜・ごはん・汁物すべて異なる確率を求めなさい．

(4)　食堂では，客の要望に応えて，レギュラー定食に加えてスペシャル定食を始めた．スペシャル定食では，レギュラー定食の選択に加えて，主菜・副菜それぞれからもう一つ違うものを追加する．スペシャル定食の組み合わせは何通りあるか答えなさい．

(5)　主菜・副菜・ごはん・汁物それぞれに対し，どのメニューを選ぶかの確率が同一であるとしたとき，レギュラー定食一食あたりのカロリーの期待値を求めなさい．

【４】　座標平面上に$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$がある．$\mathrm{▵ABC}$について，$\mathrm{BC}=8\text{，}$$\mathrm{CA}=4\sqrt{6}\text{，}$$\mathrm{\angle BAC}=45\mathrm{°}$とし，$\mathrm{\angle ABC}$が鋭角であるとき，以下の各問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{\angle ABC}$の大きさを求めなさい．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の外接円の半径を求めなさい．

(3)　$\mathrm{\angle BCA}$の大きさを$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$の値を求めなさい．

(4)　原点$\mathrm{O}$を中心とし，線分$\mathrm{BC}$を直径とする円上の点$\mathrm{P}(2\sqrt{3},-2)$における接線の方程式を求めなさい．

(5)　$3$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{P}$の座標を$\mathrm{B}(-4,0)\text{，}$$\mathrm{C}(4,0)\text{，}$$\mathrm{P}(2\sqrt{3},-2)$とし，点$\mathrm{P}$における接線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{\angle CPD}=\theta$とするとき，$\mathrm{\angle PDC}$を$\theta$用いて表しなさい．

【５】　$f(x)=a^2{x}^3$$+b{x}^2$$-cx+2$とおく．以下の各問いに答えなさい．

(1)　$a=1\text{，}$$c=-3$のとき，$y=f(x)$のグラフの接線の傾きが常に正になるような$b$の値の範囲を求めなさい．

(2)　$c=3a\text{，}$$f^{\prime }(3)=0$のとき，$b$の値を$a$を用いて表しなさい．

(3)　$g(x)=x^3$$-3x^2-2$とおく．$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフが点$(1,k)$で接するとき，$a\text{，}$$b$の値をそれぞれ求めなさい．ただし，$a>0\text{，}$$c=8a$とする．

(4)　$a=0\text{，}$$b=1\text{，}$$c=3$のときの$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めなさい．

(5)　$a=b=0\text{，}$$c=2\text{，}$$y=f(x)$のとき，$x\geqq 0\text{，}$$y\geqq 0$における$xy$の最大値と，そのときの$x\text{，}$$y$の値をそれぞれ求めなさい．