2025　筑波大学　推薦医学群医学類MathJax

【１】　以下の問いに答えなさい．

問１　次の極限値を求めなさい．ただし，ロピタルの定理を用いてはならない．

(1)　$\underset{x\to -\infty }{\lim }(2x+1+\sqrt{4x^2+1})$

【１】　以下の問いに答えなさい．

問１　次の極限値を求めなさい．ただし，ロピタルの定理を用いてはならない．

(2)　$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{e^{5x}-e^{3x}}{x}}$

【１】　以下の問いに答えなさい．

問１　次の極限値を求めなさい．ただし，ロピタルの定理を用いてはならない．

(3)　$\underset{x\to \infty }{\lim }x\log \left({\displaystyle \frac{x-1}{x+1}}\right)$

【１】　以下の問いに答えなさい．

問２　次の関数$f(x)$が$x=2$で微分可能となるとき，定数$a\text{，}$$b$を求めなさい．

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{2x}+x& \text{（}x\geqq 2\text{）}\\ a{x}^2+bx& \text{（}x<2\text{）}\end{array}$

【１】　以下の問いに答えなさい．

問３　曲線$y=4x-2x^2$と$x$軸で囲まれた部分を$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めなさい．

【２】　平面上において，中心$\mathrm{O}\text{，}$半径$r$の円$C$を考える．平面内の点$\mathrm{P}$と，直線$\mathrm{OP}$上の点$\mathrm{Q}$が$\mathrm{OP}\cdot \mathrm{OQ}=r^2$を満たすとき，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$は円$C$に関して反転であるという．このとき，以下の問いに答えなさい．

問１　点$\mathrm{O}$を通り円$C$と交点をもたない円$C^{\prime }$を考える．点$\mathrm{P}$が円$C^{\prime }$上を動くとき，点$\mathrm{P}$の円$C$に関して反転である点$\mathrm{Q}$の軌跡は直線になることを示しなさい．

　次に右図のように，空間内に中心$\mathrm{O}\text{，}$半径$r$の球面$S$を考える．中心$\mathrm{O}$を通る直線$h$と球面$S$との交点をそれぞれ${\mathrm{O}}_1$と${\mathrm{O}}_2$とする．直線$h$に垂直で点$\mathrm{O}$を通る平面を$\alpha$とする．平面$\alpha$と球面$S$の交わった部分を円$C_0$とする．

　球面$S$上に点${\mathrm{O}}_1$と点${\mathrm{O}}_2$とは異なる点$\mathrm{A}$を，線分${\mathrm{O}}_1\mathrm{A}$が線分${\mathrm{O}}_2\mathrm{A}$より長くなる位置にとる．直線${\mathrm{O}}_1\mathrm{A}$と平面$\alpha$との交点を${\mathrm{P}}_1\text{，}$直線${\mathrm{O}}_2\mathrm{A}$と平面$\alpha$との交点を${\mathrm{Q}}_1$とする．

問２　平面$\alpha$において，点${\mathrm{P}}_1$と点${\mathrm{Q}}_1$は円$C_0$に関して反転であることを示しなさい．

問３　点${\mathrm{O}}_2$と点$\mathrm{A}$を通り，円$C_0$と交わらない平面を$\beta$とする．球面$S$と平面$\beta$の交わった部分$C_1$は常に円になることを示しなさい．

問４　円$C_1$とその内部を底面，点${\mathrm{O}}_1$を頂点とする円錐を考える．この円錐と平面$\alpha$の交わった部分は円になることを示しなさい．

【３】　$p$を$5$以上の素数とし，次の条件(A)を満たす整数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$を考える．

(A)　$3p^2{x}^3$$+9p{y}^3$$+4z^3$$+6pxyz=0$

以下の問いに答えなさい．

問１　整数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$が条件(A)を満たすならば，$z$は$p$で割り切れることを示しなさい．

問２　整数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$が条件(A)を満たすならば，$x$と$y$はいずれも$p$で割り切れることを示しなさい．

問３　条件(A)を満たす整数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$を全て求めなさい．