2025　筑波大学　推薦理工学群数学類MathJax

【１】(1)　$5m+2n^2=2025$を満たす自然数の組$(m,n)$の個数を求めよ．

【１】(2)　すべての実数$\theta$について$\sin 3\theta$$=\alpha {\sin }^3\theta$$+\beta \sin \theta$となるような実数$\alpha$と$\beta$を求めよ．

【１】(3)　$a$を実数とする．${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{{\sin }^3(3^{n}a)}{3^n}}$を求めよ．

【２】　$a$を正の実数，$b$を負の実数とする．

$f(x)=x^3-3a{x}^2\text{，}$$g(x)={\displaystyle \frac{3}{a}}{x}^2+b$

とする．また，曲線$y=f(x)$と放物線$y=g(x)$はちょうど$2$つの共有点をもつとし，曲線$y=f(x)$と放物線$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を$S$とする．

(1)　$b$を$a$を用いて表せ．

(2)　$S$を$a$を用いて表せ．

(3)　$a$が正の実数を働くとき，$S$の最小値を求めよ．

【３】　$m$を自然数とする．数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す．

(1)　$S_n=n^2$のとき，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$S_n=n^m$のとき，$a_n$は実数${\alpha }_1\text{，}$$\cdots \text{，}$${\alpha }_m$を用いて

$a_n={\alpha }_1+{\alpha }_{2}n$$+{\alpha }_3{n}^2$$+\cdots +{\alpha }_m{n}^{m-1}$

と表されることを示し，${\alpha }_m$を求めよ．

(3)　$b_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^{m-1}$とする．$b_n$は実数${\beta }_1\text{，}$$\cdots \text{，}$${\beta }_{m+1}$を用いて

$b_n={\beta }_1$$+{\beta }_{2}n$$+{\beta }_3{n}^2$$+\cdots$$+{\beta }_{m+1}{n}^m$

と表されることを示し，${\beta }_{m+1}$を求めよ．