2025　筑波大学　前期MathJax

【１】　実数の組$(a,r)$に関する以下の条件(A)を考える．

(A)　初項$a\text{，}$公比$r$の等比数列$\{a_n\}$は，すべての正の整数$n$について$\tan a_{n+1}=\tan 3a_n$を満たす．ただし，いずれの正の整数$n$に対しても，$a_n$および$3a_n$は${\displaystyle \frac{1}{2}}\pi +k\pi$$\text{（}k$は整数）の形でない．

(1)　組$(a,r)$が条件(A)を満たすとき，$\tan ar=\tan 3a$および$\tan a{r}^2=\tan 3ar$が成り立つことを示せ．

(2)　組$(a,r)$が条件(A)を満たし，かつ${\displaystyle \frac{a}{\pi }}$が無理数であるとき，$r=3$であることを示せ．

(3)　組$({\displaystyle \frac{2}{5}}\pi ,r)$が条件(A)を満たすとき，$r$は整数であることを示せ．

(4)　$1\leqq r\leqq 10$を満たす$r$で，組$({\displaystyle \frac{2}{5}}\pi ,r)$が条件(A)を満たすものをすべて求めよ．

【２】　正の実数$p$に対して，$f(x)=x^3-x+p$とする．

(1)　$x$についての方程式$f(x)=0$がただ$1$つの実数解をもつとき，$p$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数で$c>0$とする．また，$i$を虚数単位とする．$a\text{，}$$b+ci\text{，}$$b-ci$が方程式$f(x)=0$の解であるとき，$a\text{，}$$c\text{，}$$p$をそれぞれ$b$を用いて表し，$b$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　(2)の$b\text{，}$$c$について，少なくともどちらか一方は整数でないことを示せ．

【３】　座標平面において円${(x-1)}^2$$+{(y-1)}^2=1$を$C$とする．$a$を$1$より大きい実数とし，$2$点$\mathrm{A}(2a,0)\text{，}$$\mathrm{B}(-a,0)$をとる．点$\mathrm{A}$を通る円$C$の$2$本の接線のうち傾きが小さい方を$l_1$とし，点$\mathrm{B}$を通る円$C$の$2$本の接線のうち傾きが大きい方を$l_2$とする．$l_1$と$l_2$の交点を$\mathrm{D}$とする．

(1)　直線$l_1$の方程式を$a$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{D}$から$x$軸へ下ろした垂線と$x$軸の交点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{▵BDH}$と$\mathrm{▵ADH}$の面積の比が$5:4$であるとき，$a$の値を求めよ．

(3)　$a$が(2)で求めた値であるとき，$\mathrm{\angle ADB}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$であることを示せ．また，$\mathrm{▵ABD}$の外接円の中心と半径を求めよ．

【４】　$i$を虚数単位とする．$a$は$1$でない正の実数の定数とする．複素数平面において，方程式$|z-a^{2}i|$$=a|z-i|$を満たす点$z$が表す図形を$C$とする．

(1)　図形$C$は原点$\mathrm{O}$を中心とする円であることを示し，その半径を求めよ．

　以下の問いでは点$z$は円$C$上を動くとし，$z$の偏角を$\theta$とする．ただし$0\leqq \theta <2\pi$とする．また，$w=z-{\displaystyle \frac{1}{z}}$とおく．

(2)　${|w-2i|}^2$を$a$と$\sin \theta$を用いて表せ．

(3)　$|w-2i|+|w+2i|$は点$z$の位置によらない定数であることを示せ．

【５】　$f(x)={\displaystyle \frac{\sin (\log x)}{x}}$$\text{（}x>1\text{）}$について以下の問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)\text{，}$$f^{″}(x)$を求めよ．

(2)　$n$を正の整数とする．関数$f(x)$が極大値をとる$x$で，$e^{2(n-1)\pi }$$<x<e^{2n\pi }$となるものがただ$1$つ存在することを示せ．また，関数$f(x)$が極小値をとる$x$で，$e^{2(n-1)\pi }$$<x$$<e^{2n\pi }$となるものがただ$1$つ存在することを示せ．

(3)　正の整数$n$に対して，(2)の極大値をとる$x$を${\alpha }_n\text{，}$極小値をとる$x$を${\beta }_n$とする．このとき，

${\displaystyle \frac{1}{\pi }}\left\{\log \right|{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{f}^{″}({\alpha }_n)|-\log |{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{f}^{″}({\beta }_n)\left|\right\}$

は整数となる．その値を求めよ．

【６】　$f(x)=\sqrt{x}{e}^{-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$とし，$\alpha ={\displaystyle {\int }_0^5}f(x)\mathit{dx}$とする．

(1)　$f(x)$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$が最大値をとることを示し，その値$M$を求めよ．

(2)　$0\leqq x\leqq 5$において$e^{-\frac{25}{4}}\sqrt{x}\leqq f(x)$を示せ．また，${\displaystyle \frac{10}{3}}f(5)\leqq \alpha$を示せ．

(3)　$M$は(1)で求めたものとし，実数$t$は${\displaystyle \frac{2}{3}}f(5)\leqq t\leqq M$の範囲を動くとする．曲線$y=f(x)-t$$\text{（}x\geqq 0\text{），}$$2$直線$x=0\text{，}$$x=5\text{，}$および$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積を$V(t)$とする．$V(t)$の最小値を$\alpha$を用いて表せ．

問題選択一覧

数学①　【１】,【２】,【３】から２題選択

数学②　【１】,【２】,【３】から２題選択,【４】,【５】,【６】から２題選択

　総合選抜文系,社会学類,国際総合学類　数学①を解答

　総合選抜理系,上記以外の学類　数学②を解答