2025　茨城大学　前期MathJax

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　第$15$項が$936\text{，}$第$83$項が$528$である等差数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．このとき，$S_n<0$となる最小の$n$を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　次の$2$つの等式を同時に満たす実数$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

$3^{1-x}={27}^{\frac{y}{3}}\text{，}$${\log }_{x}2={\log }_{y}4$

【２】　$t>0$を実数とし，放物線$C\text{：}y=x^2$上に点$\mathrm{P}(t,t^2)$をとる．また，点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$l_1$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　直線$l_1$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形の面積を$S_1\text{，}$直線$l_1$と$x$軸および放物線$C$で囲まれた図形の面積を$S_2$とするとき，$S_1:S_2$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$を通り，$y$切片が正である直線を$l_2$とする．直線$l_1$と直線$l_2$および$y$軸で囲まれた図形の面積が放物線$C$で$2$等分されるとき，直線$l_2$の方程式を求めよ．

【３】　$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．辺$\mathrm{BC}$上に$\overrightarrow{\mathrm{BP}}=t\overrightarrow{\mathrm{BC}}$となる点$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{EF}$上に$\overrightarrow{\mathrm{EQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{EF}}$となる点$\mathrm{Q}$をとる．ただし，$0\leqq t\leqq 1$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{MQ}}$のなす角を$\theta$$\text{（}0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}\text{）}$とする．点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{BC}$の中点のとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{MQ}}$の内積を最大にする$t$の値を求めよ．また，そのときの最大値を求めよ．

【４】　サイコロを$4$回投げるとき，次の各問に答えよ．

(1)　$1$の目も$6$の目も出る確率を求めよ．

(2)　$4$つの出る目$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3\text{，}$$x_4$からなるデータの平均値が$5$となる確率を求めよ．

(3)　$4$つの出る目$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3\text{，}$$x_4$からなるデータの平均値が$5$であったとき，そのデータの標準偏差が$1$より大きくなる条件付き確率を求めよ．

【１】　座標平面において，曲線$C\text{：}y={(x-2)}^2$と，$C$上の点$\mathrm{A}(2,0)$を通る傾き$a$の直線$l$を考える．ただし，$a>0$とする．曲線$C$と$y$軸および直線$l$で囲まれた図形を$D_1$とし，曲線$C$と直線$l$で囲まれた図形を$D_2$とする．$D_1\text{，}$$D_2$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積をそれぞれ$V_1(a)\text{，}$$V_2(a)$とする．以下の各問に答えよ．

(1)　曲線$C$と直線$l$の交点のうち，点$\mathrm{A}$と異なる点の座標を$a$を用いて表せ．

(2)　$V_1(a)$および$V_2(a)$を求めよ．

(3)　$V(a)=V_1(a)-V_2(a)$とする．関数$V(a)$の極値を求めよ．

(4)　$0<a<2$のとき，図形$D_1$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$a$を用いて表せ．

【２】　$a>0\text{，}$$f(x)=\sqrt{2(x+1)}$とする．座標平面において，曲線$C\text{：}y=f(x)$上の点$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{a^2}{2}}-1,a)$を通る$C$の法線を$l$とする．また，点$\mathrm{Q}(s,t)$は法線$l$上にあり，$\mathrm{PQ}=1$かつ$t<a$を満たすとする．以下の各問に答えよ．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．また，法線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$s$および$t$を$a$を用いて表せ．また，極限$\underset{a\to +0}{\lim }s$を求めよ．

(3)　$n$を$0$以上の整数とする．$a\to +0$のとき，

${\displaystyle \frac{t}{a^n}}$

が収束するような$n$の値をすべて求めよ．また，そのときの極限値をそれぞれ求めよ．

【３】　$i$を虚数単位とし，$z$を複素数とする．また，$w=1+iz$とする．複素数平面において，$4$点$\mathrm{O}(0)\text{，}$$\mathrm{A}(z)\text{，}$$\mathrm{B}(w)\text{，}$$\mathrm{C}(1)$を考える．以下の各問に答えよ．

(1)　$\mathrm{OA}=\mathrm{BC}$であることを示せ．また，$z\ne 0$のとき，直線$\mathrm{OA}$と直線$\mathrm{BC}$は垂直に交わることを示せ．

(2)　$\mathrm{OA}=\mathrm{AB}$を満たす点$z$の全体は，どのような図形を表すか．

(3)　点が(2)の図形上を動くとき，$|z+w|$の最大値と最小値を求めよ．ただし，最大値と最小値を与える$z$の値を求める必要はない．

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　次の極限を求めよ．

(ⅰ)　$\underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{x^3-1}{x^3-x^2-2x+2}}$

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　次の極限を求めよ．

(ⅱ)　$\underset{x\to \infty }{\lim }x(\sin {\displaystyle \frac{3}{x}}-\sin {\displaystyle \frac{1}{x}})$

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．

(2)　次の定積分を求めよ．

(ⅰ)　${\displaystyle {\int }_0^3}{\displaystyle \frac{x}{{(4-x)}^3}}\mathit{dx}$

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．

(2)　次の定積分を求めよ．

(ⅱ)　${\displaystyle {\int }_1^{e^2}}{(\log x)}^2\mathit{dx}$

【１】　以下の各問に答えよ．ただし，対数は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．

(3)　$a\ne 0$を実数の定数とする．関数$f(x)=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{x}{x+a}}}$の$x=a$における微分係数$f^{\prime }(a)$が$\sqrt[3]{4}$となるような$a$の値を求めよ．

【２】　以下の各問に答えよ．

(1)　$x={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}-1}}$のとき，次の(ⅰ)と(ⅱ)の式の値をそれぞれ求めよ．

$\text{(ⅰ) }{x}^3+{\displaystyle \frac{1}{x^3}}$$\text{(ⅱ) }{x}^4+{\displaystyle \frac{1}{x^4}}$

【２】　以下の各問に答えよ．

(2)　$\mathrm{A}$チームと$\mathrm{B}$チームが続けて試合をしていき，先に$4$勝した方が優勝とする．$\mathrm{A}$チームの勝つ確率が${\displaystyle \frac{1}{3}}$のとき，$6$試合目で$\mathrm{A}$チームが優勝する確率を求めよ．ただし，引き分けはないものとする．

【２】　以下の各問に答えよ．

(3)　$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 180\mathrm{°}$のとき，$2{\sin }^2\theta -{\cos }^2\theta -\sin \theta +a=0$を満たす$\theta$がちょうど$2$つであるような定数$a$の値の範囲を求めよ．

【３】　以下の各問に答えよ．

(1)　公比が$\sqrt{2}$である等比数列$\{a_n\}$について，${\displaystyle \sum _{k=5}^{10}}{a}_k=14$であるとき，初項$a_1$を求めよ．

【３】　以下の各問に答えよ．

(2)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，次の不等式を解け．

(ⅰ)　$6\tan \theta +2\sqrt{3}>0$

【３】　以下の各問に答えよ．

(2)　$0\leqq \theta <2\pi$のとき，次の不等式を解け．

(ⅱ)　$\sin \theta >\sqrt{3}\cos \theta -1$

【３】　以下の各問に答えよ．

(3)　$x>0\text{，}$$y>0\text{，}$$x+7y=1$のとき，${\displaystyle \frac{1}{7x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}$の最小値を求めよ．また，そのときの$x\text{，}$$y$の値をそれぞれ求めよ．

【４】　以下の各問に答えよ．

(1)　座標空間において，$2$点$\mathrm{A}(2,-1,3)\text{，}$$\mathrm{B}(3,-2,4)$を通る直線$\mathrm{AB}$上の点のうち，原点から最も近いところにある点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【４】　以下の各問に答えよ．

(2)　複素数平面上において，点$z$が原点を中心とする半径$2$の円周上を動くとき，$w={\displaystyle \frac{1}{1-z}}$で表される点$w$は，どのような図形を描くか答えよ．

【４】　以下の各問に答えよ．

(3)　連続関数$f(x)$が$f(1)=5$を満たすとき，以下の極限を求めよ．

$\underset{x\to 1}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}{\displaystyle {\int }_1^x}{t}^{2}f(t)\mathit{dt}$