2025　福島大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　$1$以上の整数$a\text{，}$$b$を用いて$3^a\cdot 5^b$と表される$2025$以下の整数はいくつあるか求めなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(2)　$0\leqq x<2\pi$のとき，次の方程式を解きなさい．

$\sin x-\sqrt{3}\cos x=2$

【１】　次の問いに答えなさい．

(3)　方程式$x^4+2x^3+x^2-4=0$を複素数の範囲で解きなさい．

【１】　次の問いに答えなさい．

(4)　関数${\displaystyle \frac{1-e^x}{1+e^x}}$の導関数を求めなさい．

【２】　次の問いに答えなさい．

(1)　不等式${2.5}^{-n}<{10}^{-10}$を満たすような最小の整数$n$を求めなさい．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【２】　次の問いに答えなさい．

(2)　円$x^2+y^2-2x-2y=2$が直線$y=2x+1$から切り出す弦（交点を結ぶ線分）の長さを求めなさい．

【２】　次の問いに答えなさい．

(3)　$n$を$1$以上の整数とするとき，以下の不等式を証明しなさい．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k^2}}\leqq 2-{\displaystyle \frac{1}{n}}$

【３】　次の問いに答えなさい．

(1)　$1$から$8$までの整数が書かれたカードが$1$枚ずつある．これら$8$枚のカードから無作為に取り出すとき，以下の問いに答えなさい．

(ⅰ)　$2$枚のカードを取り出したとき，取り出したカードに書かれた数字の合計が偶数である確率を求めなさい．

(ⅱ)　$4$枚のカードを取り出したとき，取り出したカードに書かれた数字の合計が偶数である確率を求めなさい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(2)　次の数列はいくつかの項を群としてまとめられており，第$m$群には奇数$2m-1$が$m$個並んでいる．

$1|3,3|5,5,5|7,7,7,7|\cdots$

このとき以下の問いに答えなさい．

(ⅰ)　第$m$群の最後の数は初項から数えて第何項か．$m$を用いて表しなさい．

(ⅱ)　初項から第$m$群の最後の数までの和を$m$を用いて表しなさい．

(ⅲ)　初項からの和が$500$を初めて超えるのは初項から数えて第何頭か求めなさい．

【４】　$1$辺の長さが$7$の正三角形$\mathrm{ABC}$がある．その内部に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{BD}=3\text{，}$$\mathrm{CD}=5$を満たすようにとるとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　角$\mathrm{BDC}$の大きさ$\alpha$を求めなさい．ただし，$0<\alpha <\pi$とする．

(2)　三角形$\mathrm{BDC}$の面積を求めなさい．

(3)　直線$\mathrm{CD}$と辺$\mathrm{AB}$が交わる点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{BE}$の長さと$\mathrm{DE}$の長さを求めなさい．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+q\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と表したとき，$p$と$q$の値を求めなさい．

【５】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x^4}{4}}-2x^2+4$について次の問いに答えなさい．

(1)　$f(x)$の極値を全て求めなさい．

(2)　$y=f(x)$のグラフの全ての変曲点の$x$座標を求めなさい．

(3)　$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積を求めなさい．

(4)　$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(1)　集合$A=\{0,1,2\}$の部分集合をすべて答えなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(2)　式

$1-({\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2^2}}+{\displaystyle \frac{1}{2^3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{2^{2025}}})$

の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(3)　式

$\sqrt{2.5}+\sqrt{202.5}$

の値を求めなさい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(4)　不等式

${\displaystyle \frac{2x-3}{x}}>4$

を解きなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$2\sqrt{10}$の整数部分を$a\text{，}$小数部分を$b$とするとき

$a+{\displaystyle \frac{1}{b}}$

の値を求めなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(2)　定積分

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{12}}}{\sin }^{2}3x\mathit{dx}$

を計算しなさい．

【２】　以下の問いに答えなさい．

(3)　$x>0\text{，}$$y>0\text{，}$$x+y=1$とする．

$({\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{9}{y}})(x+y)$

の最小値とそのときの$x\text{，}$$y$の値を求めなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．

(1)　座標平面上に点$\mathrm{A}(25,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,20)\text{，}$$\mathrm{C}(10,0)$がある．点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{C}$を中心とする半径$6$の円周上を動くとき$\mathrm{▵ABP}$の面積の最小値を求めなさい．

【３】　以下の問いに答えなさい．

(2)　定数$a$と関数$f(x)=x^2-2ax+4a+3$に対して，以下の問いに答えなさい．

(a)　$y=-f(x)$のグラフを$x$軸方向に$-1\text{，}$$y$軸方向に$2$平行移動したグラフを$y=g(x)$とするとき，関数$g(x)$を求めなさい．

(b)　$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフが共有点をもつような定数$a$の値の範囲を求めなさい．

【４】　正の定数$a$$\text{（}0<a<4\text{）}$と関数

$f(x)=e^x\{x^2-(a+4)x+3a+4\}$$\text{（}0\leqq x\leqq 4\text{）}$

に対して，以下の問いに答えなさい．必要ならば自然対数の底$e$が$2.7<e<2.8$を満足することを用いてよい．

(1)　$f(0)\text{，}$$f(2)\text{，}$$f(4)$および$f(a)$をそれぞれ定数$a$を用いて表しなさい．

(2)　$0<x<4$での関数$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めなさい．

(3)　$a=1$のとき，関数$f(x)$の最大値と最小値を求めなさい．

(4)　関数$f(x)$が$x=2$で極大値かつ最大値をとるような定数$a$の範囲を求めなさい．

【５】　以下の問いに答えなさい．

(1)　弧度法で表される

${\displaystyle \frac{\pi }{12}}$

を度数法で表しなさい．

【５】　以下の問いに答えなさい．

(2)　以下の和

${\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{15}}+{\displaystyle \frac{1}{35}}+{\displaystyle \frac{1}{63}}+{\displaystyle \frac{1}{99}}$

を求めなさい．

【５】　以下の問いに答えなさい．

(3)　方程式

${\log }_{2025}{x}^2=2$

を解きなさい．

【５】　以下の問いに答えなさい．

(4)　不等式

$|4x-1|<|x+3|$

を解きなさい．

【６】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$xy$平面上の直線$y=x\text{，}$$y=1\text{，}$$x=5$で囲まれてできる三角形の内接円の中心の座標と半径を求めなさい．

【６】　以下の問いに答えなさい．

(2)　不等式

$4\cdot 9^x+a\cdot 3^x>a-2$

が常に成り立つような定数$a$の値の範囲を求めなさい．

【６】　以下の問いに答えなさい．

(3)　実数$a\text{，}$$b$は二重根号を用いて

$a=\sqrt{8+2\sqrt{15}}\text{，}$$b=\sqrt{8-2\sqrt{15}}$

と表される．このとき，$\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}$の値を求めなさい．ただし，求める値は二重根号を用いて表さないこと．また，必要に応じて${(\sqrt{5}+\sqrt{3})}^2=8+2\sqrt{15}\text{，}$${(\sqrt{5}-\sqrt{3})}^2=8-2\sqrt{15}$となることを用いてよい．

【７】　点$\mathrm{O}$を頂点とする四角すい$\mathrm{O‐ABCD}$において

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD}=a\text{，}$$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CD}=\mathrm{DA}=b$$(a>{\displaystyle \frac{b}{\sqrt{2}}})$

とする．点$\mathrm{H}$を線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点，点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{OH}$上の点とする．また，線分$\mathrm{PH}$の長さを$h\text{，}$点$\mathrm{P}$を中心とする半径$r$の球を$S$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　球$S$が辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{OC}\text{，}$$\mathrm{OD}$に接しているとき，$r$を$h\text{，}$$a\text{，}$$b$を用いて表しなさい．

(2)　球$S$が辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CD}\text{，}$$\mathrm{DA}$に接しているとき，球$S$の体積を$h\text{，}$$b$を用いて表しなさい．

(3)　$a=3\text{，}$$b=\sqrt{6}$とする．このとき，球$S$が辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{OC}\text{，}$$\mathrm{OD}\text{，}$$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CD}\text{，}$$\mathrm{DA}$に接しているとき，$h$の値を求めなさい．