2025　山形大学　前期MathJax

【１】　大人$5$人と子ども$4$人がテーブルに着席する．ただし，$9$人全員に席を$1$つずつ割り当てるものとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$3$人席のテーブル$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$に着席するとき，次の(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)に答えよ．

(ⅰ)　テーブル$\mathrm{A}$に子どもがちょうど$1$人着席する確率を求めよ．

(ⅱ)　テーブル$\mathrm{A}$に大人が$1$人以上着席する確率を求めよ．

(ⅲ)　各テーブル$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$に大人が$1$人以上着席する確率を求めよ．

(2)　円形の$5$人席のテーブル$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$に着席するとき，次の(ⅰ)，(ⅱ)に答えよ．ただし，テーブル$\mathrm{E}$には，使用しない席があらかじめ$1$つ決められているとする．

(ⅰ)　テーブル$\mathrm{D}$に子どもがちょうど$2$人着席し，かつ隣り合う確率を求めよ．

(ⅱ)　各テーブル$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$に子ども$2$人が隣り合わせに着席する確率を求めよ．ただし，使用しない席を挟んで着席する場合は，隣り合わせに着席するとはいわないものとする．

【２】　座標平面上で，関数$f(x)=x^2-3x+2$に対し，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とする．また，曲線$y=f(x)$上の点$(a,f(a))$における接線を$l$とする．次に，関数$g(x)=|{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}x\left|x\right|-3\left|x\right|+2|$に対し，$a\geqq 2$のとき，曲線$y=g(x)$と接線$l$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　$S_1$を求めよ．

(2)　接線$l$の方程式を$a$を用いて表せ．

(3)　$S_2=56S_1$となる$a$を求めよ．

(4)　$g(x)=1$を満たす$x$を求めよ．

(5)　次の連立不等式が表す領域の面積を求めよ．

$y\geqq g(x)\text{，}$$y\leqq 1$

【３】　平面上の$\mathrm{▵ABC}$において$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=7\text{，}$$\mathrm{CA}=8$とする．$\mathrm{▵ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とし，直線$\mathrm{BI}$と辺$\mathrm{CA}$の交点を$\mathrm{D}\text{，}$直線$\mathrm{CI}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{E}$とする．また，点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{F}$とし，直線$\mathrm{AI}$と直線$\mathrm{CF}$の交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵ABC}$の面積と内接円の半径を求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

(5)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

【４】　次の問に答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$が

$a_1={\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}$$a_{n+1}=-a_n+{\displaystyle \frac{1}{8}}n+{\displaystyle \frac{1}{4}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められているとき，次の(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)に答えよ．

(ⅰ)　$a_2$を求めよ．

(ⅱ)　$b_n=a_{n+1}-a_n$で定められる数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅲ)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{c_n\}$が

$c_1=2^{\frac{1}{4}}\text{，}$$c_{n+1}={\displaystyle \frac{2^{\frac{1}{8}n+\frac{1}{4}}}{c_n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定められているとき，次の(ⅰ)，(ⅱ)に答えよ．

(ⅰ)　数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅱ)　$m$を自然数とするとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^{2m}}{(-1)}^k{c}_k$を求めよ．

【５】　次の問に答えよ．

(1)　複素数平面上の点$z\text{，}$$z_1\text{，}$$z_2$について，$2$点$z_1\text{，}$$z_2$を点$z$を中心に${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$だけ回転した点をそれぞれ$w_1\text{，}$$w_2$とする．$z=3\sqrt{3}-5i\text{，}$$z_1=5\sqrt{3}+3i$であるとき，次の(ⅰ)，(ⅱ)に答えよ．

(ⅰ)　$w_1$を求めよ．

(ⅱ)　点$w_1$と点$w_2$および原点$\mathrm{O}$を頂点とする三角形が正三角形となるとき，$z_2$を求めよ．ただし，$w_2$の実部は負であるとする．

【５】　次の問に答えよ．

(2)　関数$f(x)={\displaystyle {\int }_{x-1}^x}\left|t\right|e^t\mathit{dt}$と$g(x)=e^{-x+1}{\displaystyle \frac{d}{\mathit{dx}}}f(x)$に対して，次の(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)に答えよ．以下では，$2<e<3$であることを用いてよい．

(ⅰ)　不定積分${\displaystyle \int }t{e}^t\mathit{dt}$を求めよ．

(ⅱ)　関数$g(x)$と$g(x)=0$を満たす$x$を求めよ．

(ⅲ)　$f(x)$が$x=a$で極大になるとき，$e^{-a+1}f(a)$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$は$\left|\overrightarrow{a}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=2$で，$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$と$3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$は垂直である．$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$$\text{（}0\geqq \theta \leqq \pi \text{）}$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$xy$平面上に円$C\text{：}{(x-2)}^2+{(y-1)}^2=1$と直線$l\text{：}3x+4y=k$がある．$C$と$l$が共有点をもたないように，定数$k$の値の範囲を定めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　不等式$\sqrt{2x+3}\leqq -x+5$を解け．

【２】　すべての自然数を小さい順に並べた列を次のような群に分ける．ただし，自然数$n$に対して，第$n$群には$2n$個の数が入るようにする．

$\underset{\text{第}1\text{群}}{1,2}|\underset{\text{第}2\text{群}}{3,4,5,6}|\underset{\text{第}3\text{群}}{7,8,9,10,11,12}|13,\cdots$

第$n$群に入る最初の数を$a_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_n$を$n$の式で表せ．

(2)　$2025$は第$m$群に入る．$m$の値を求めよ．

(3)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_n$とし，$T_n$を第$n$群に入るすべての数の和とする．

(ⅰ)　$S_n$を$n$の式で表せ．

(ⅱ)　$T_n$を$n$の式で表せ．

(ⅲ)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{T_n}}$を求めよ．

【３】　$0\leqq \theta <2\pi$を満たす定数$\theta$に対して，$z$の方程式$z^3=\cos \theta +i\sin \theta$の$3$つの解を${\alpha }_1\text{，}$${\alpha }_2\text{，}$${\alpha }_3$とし，その偏角をそれぞれ${\theta }_1\text{，}$${\theta }_2\text{，}$${\theta }_3$とする．次の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位であり，$0\leqq {\theta }_1<{\theta }_2<{\theta }_3<2\pi$とする．

(1)　${\theta }_1\text{，}$${\theta }_2\text{，}$${\theta }_3$を$\theta$の式で表せ．

(2)　${{\alpha }_2}^2+{\alpha }_2{\alpha }_3+{{\alpha }_3}^2=0$を示せ．

(3)　$|{\alpha }_2+{\alpha }_3|$と$|{\alpha }_2-{\alpha }_3|$の値をそれぞれ求めよ．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x^2-x}{x^2-3x+3}}$がある．$xy$平面において，曲線$C\text{：}y=f(x)$上の点$(1,f(1))$における接線を$l$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　曲線$C$と接線$l$の共有点の座標をすべて求めよ．

(4)　曲線$C$と接線$l$で囲まれた図形の面積を求めよ．