2025　宮城教育大学　前期MathJax

【１】　$2$つの数列$\{{\theta }_n\}\text{，}$$\{a_n\}$を条件

${\theta }_1={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}$${\theta }_{n+1}={\displaystyle \frac{\pi -2{\theta }_n}{4}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{），}$

$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}=\sqrt{|a_n+4|}+\sqrt{|a_n-4|}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．次の問に答えよ．

(1)　数列$\{{\theta }_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$0\leqq {\theta }_n\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．

(3)　数学的帰納法を用いて，$a_n=4\cos {\theta }_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．

(4)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【２】　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{E}\text{，}$直線$\mathrm{DE}$と辺$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{S}$とし，辺$\mathrm{OC}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{T}\text{，}$直線$\mathrm{AC}$と直線$\mathrm{DT}$の交点を$\mathrm{F}$とする．

　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{EF}$と直線$\mathrm{ST}$が$1$点で交わることを示せ．また，このときの交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{SP}:\mathrm{TP}$を求めよ．

(3)　点$\mathrm{O}$を通り平面$\mathrm{DEF}$に垂直な直線と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

【３】　次の間に答えよ．

(1)　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sin x}{\cos x}}$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$

の増減，極値，曲線$y=f(x)$の凹凸，ならびに漸近線を調べ，そのグラフをかけ．

(2)　$a$を定数とするとき，$x$についての方程式

$\sqrt{2}+\sin x=a\cos x$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$

の異なる実数解の個数を調べよ．

【４】　曲線$C_1\text{，}$$C_2$を

$C_1\text{：}y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+1\text{，}$$C_2\text{：}y={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}$

とするとき，次の間に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　曲線$C_1$と$C_2$の共有点はただ$1$つであることを示せ．

(2)　直線$x=1$と曲線$C_1\text{，}$$C_2$とで囲まれた図形の面積を求めよ．

(3)　曲線$C_1$の$-1\leqq x\leqq 1$の部分の長さを求めよ．ただし，

$x={\displaystyle \frac{e^t-e^{-t}}{2}}$

とおいて置換積分法を用いよ．

【１】　$2$つの数列$\{{\theta }_n\}\text{，}$$\{a_n\}$を条件

${\theta }_1={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}$${\theta }_{n+1}={\displaystyle \frac{\pi -2{\theta }_n}{4}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{），}$

$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}=\sqrt{|a_n+4|}+\sqrt{|a_n-4|}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．次の問に答えよ．

(1)　数列$\{{\theta }_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　$0\leqq {\theta }_n\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．

(3)　数学的帰納法を用いて，$a_n=4\cos {\theta }_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．

【３】　$a$を定数として，曲線$C_1$と$C_2$を

$C_1\text{：}y=x^2+a\text{，}$$C_2\text{：}y=x^3-x$

とするとき，次の問に答えよ．

(1)　曲線$C_1$と$C_2$の共有点の個数を求めよ．

(2)　$a>0$かつ曲線$C_1$と$C_2$がちょうど$2$個の共有点をもつとき，曲線$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【１】　次の問に答えよ．

(1)　$m\text{，}$$n$を正の整数とする．$3$次方程式$x^3+m{x}^2$$+nx$$+3=0$が整数の$2$重解をもつとき，$m\text{，}$$n$を求めよ．

【１】　次の問に答えよ．

(2)　$a$を$1$より大きい定数とする．$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に対して，

$x={\log }_a\{\tan ({\displaystyle \frac{\theta }{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\left)\right\}$

とおくとき，

${\displaystyle \frac{a^x-a^{-x}}{a^x+a^{-x}}}=\sin \theta$

が成り立つことを示せ．