2025　東北大学　後期MathJax

(1)　$d$の値を求めよ．

(2)　$ax+by=d$と$|2x+y|\leqq 400$を同時に満たす整数の組$(x,y)$の総数を求めよ．

【２】　$n$を$2$以上の整数とする．図のように円盤を$n$個の扇形に分け，それらを順に${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$$\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_n$とする．

　${\mathrm{P}}_1$から${\mathrm{P}}_n$すべてを次の規則に従って塗り分ける．

・各扇形は黒，赤，青，黄，緑の$5$色のうち，いずれか$1$色で塗る．

・${\mathrm{P}}_1$を黒で塗る．

・隣り合う$2$つの扇形は互いに異なる色で塗る．例えば，${\mathrm{P}}_1$と${\mathrm{P}}_2$は異なる色で塗り，${\mathrm{P}}_1$と${\mathrm{P}}_n$も異なる色で塗る．

$a_n$をこの塗り分け方の総数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4\text{，}$$a_5$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$a_n$を$n$を用いて表せ．

(1)　$k$の値を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点および漸近線を調べて，グラフの概形をかけ．また，変曲点が複数ある場合は，それらの$y$座標の大小を比較せよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と直線$y=x$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

$\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}\cdot \mathrm{PC}\cdot \mathrm{PD}\cdot \mathrm{PE}=1$

を満たす単位円周上の点$\mathrm{P}$を$\cos \theta +i\sin \theta$$\text{（}0\leqq \theta <2\pi \text{）}$と表すとき，$\theta$のとり得る値をすべて求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

(1)　$r$を$2$以上かつ$n$以下の整数とするとき，${\displaystyle \frac{{}_{n}C_r}{n^r}}<{\displaystyle \frac{1}{r!}}$を示せ．

(2)　次の不等式が成り立つことを示せ．

${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$$<1$$+1$$+{\displaystyle \frac{1}{2!}}$$+{\displaystyle \frac{1}{3!}}$$+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n!}}$

(3)　次の不等式が成り立つことを示せ．

${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$$<{\displaystyle \frac{1}{4}}(11-{\displaystyle \frac{1}{3^{n-2}}})$

(1)　直線$m$と放物線$C$が共有点をもつような点$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$とおく．$a$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$は$x$座標が(1)で求めた範囲を動くとする．直線$m$と放物線$C$の共有点を考える．共有点が$2$つある場合は直線$l$に近い方を$\mathrm{Q}$とし，$1$つのみの場合はその共有点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$が通過してできる図形の面積を求めよ．