2025　東北大学　前期MathJax

【１】　原点を出発点として数直線上を動く点$\mathrm{P}$がある．試行(＊)を次のように定める．

(＊)$\{\begin{array}{l}1\text{枚の硬貨を}1\text{回投げて，}\\ \text{・表が出た場合は点}\mathrm{P}\text{を正の向きに}1\text{だけ進める．}\\ \text{・裏が出た場合は}1\text{個のさいころを}1\text{回投げ，}\\ \text{奇数の目が出た場合は点}\mathrm{P}\text{を正の向きに}1\text{だけ進め，}\\ \text{偶数の目が出た場合は点}\mathrm{P}\text{を負の向きに}2\text{だけ進める．}\end{array}$

ただし，硬貨を投げたとき表裏の出る確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$さいころを投げたとき$1$から$6$までの整数の目の出る確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{6}}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　試行(＊)を$3$回繰り返した後に，点$\mathrm{P}$が原点にもどっている確率を求めよ．

(2)　試行(＊)を$6$回繰り返した後に，点$\mathrm{P}$が原点にもどっている確率を求めよ．

(3)　$n$を$3$で割り切れない正の整数とする．試行(＊)を$n$回繰り返した後に，点$\mathrm{P}$が原点にもどっている確率を求めよ．

《原注》補足説明　(1)，(2)，(3)において，「・・・繰り返した後に，・・・」とは，「・・・繰り返したとき，・・・」という意味である．

【２】　正の実数からなる$2$つの数列$\{x_n\}\text{，}$$\{y_n\}$を次のように定める．

$x_1=2\text{，}$$y_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$x_{n+1}={(x_n)}^5\cdot {(y_n)}^2\text{，}$$y_{n+1}=x_n\cdot {(y_n)}^6$

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$k$を実数とする．$a_n={\log }_2{x}_n\text{，}$$b_n={\log }_2{y}_n$とおく．このとき，数列$\{a_n+k{b}_n\}$が等比数列になるような$k$の値をすべて求めよ．

(2)　数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ．

【３】　$a$を実数とし，関数$f(x)$を次のように定める．

$f(x)=x^4+{\displaystyle \frac{4a}{3}}{x}^3+(a+2)x^2$

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$が極大値をもつような$a$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　関数$f(x)$が$x=0$で極大値をもつような$a$のとり得る値の範囲を求めよ．

【４】　$n$を正の整数，$a$を正の実数とし，関数$f(x)$と$g(x)$を次のように定める．

$f(x)=n\log x\text{，}$$g(x)=a{x}^n$

また，曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$が共有点をもち，その共有点における$2$つの曲線の接線が一致しているとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　この$2$つの曲線と$x$軸で囲まれた部分の面積$S_n$を求めよ．

(3)　(2)で求めた$S_n$に対し，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【５】　$S$を$xyz$空間内の原点$\mathrm{O}(0,0,0)$を中心とする半径$1$の球面とする．また，点$\mathrm{P}(a,b,c)$を点$\mathrm{N}(0,0,1)$とは異なる球面$S$上の点とする．点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{N}$を通る直線$l$と$xy$平面との交点を$\mathrm{Q}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$の座標を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表せ．

(2)　$xy$平面上の点$(p,q,0)$と点$\mathrm{N}$を通る直線を$m$とする．直線$m$と球面$S$の交点のうち，点$\mathrm{N}$以外の交点の座標を$p\text{，}$$q$を用いて表せ．

(3)　点$(0,0,{\displaystyle \frac{1}{2}})$を通り，ベクトル$(3,4,5)$に直交する平面$\alpha$を考える．点$\mathrm{P}$が平面$\alpha$と球面$S$との交わりを動くとき，点$\mathrm{Q}$は$xy$平面上の円周上を動くことを示せ．

【６】　$1$辺の長さが$1$の正五角形を$K$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$K$の対角線の長さを求めよ．

(2)　$K$の周で囲まれた図形を$P$とする．また，$P$を$K$の外接円の中心の周りに角$\theta$だけ回転して得られる図形を$P_{\theta }$とする．$P$と$P_{\theta }$の共通部分の周の長さを$l_{\theta }$とする．$\theta$が$0\mathrm{°}<\theta <72\mathrm{°}$の範囲を動くとき，$l_{\theta }$の最小値が$2\sqrt{5}$であることを示せ．

【３】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．点$\mathrm{D}$は$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=3\overrightarrow{\mathrm{AB}}+2\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を満たすとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を$V$とするとき，四角錐$\mathrm{OABDC}$の体積を$V$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(4)　四面体$\mathrm{OABC}$が$1$辺の長さ$1$の正四面体のとき，線分$\mathrm{OD}$の長さを求めよ．

【４】　$k$を正の実数とする．曲線$y=x{(x-2)}^2$と放物線$y=k{x}^2$で囲まれた$2$つの部分の面積が等しくなるような$k$の値を求めよ．

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